Почему математика хорошо описывает реальность?

Golden Ratio Cat

Одна из самых интересных проблем философии науки — это связь математики и физической реальности. Почему математика так хорошо описывает происходящее во вселенной? Ведь многие области математики были сформированы без какого-либо участия физики, однако, как в итоге оказалось, они стали основой в описании некоторых физических законов. Как это можно объяснить?

Наиболее явно этот парадокс можно наблюдать в ситуациях, когда какие-то физические объекты были сначала открыты математически, а уже потом были найдены доказательства их физического существования. Наиболее известный пример — открытие Нептуна. Урбен Леверье сделал это открытие просто вычисляя орбиту Урана и исследуя расхождения предсказаний с реальной картиной. Другие примеры — предсказание Дираком о существовании позитронов и предположение Максвелла о том, что колебания в электрическом или магнитном поле должно порождать волны.

Ещё более удивительно, что некоторые области математики существовали задолго до того, как физики поняли, что они подходят для объяснения некоторых аспектов вселенной. Конические сечения, изучаемые ещё Аполлонием в древней Греции, были использованы Кеплером в начале 17 века для описания орбит планет. Комплексные числа были предложены за несколько веков до того, как физики стали использовать их для описания квантовой механики. Неевклидова геометрия было создана за десятилетия до теории относительности.

Почему математика так хорошо описывает природные явления? Почему из всех способов выражения мыслей, математика работает лучше всего? Почему, например, нельзя предсказать точную траекторию движения небесных тел на языке поэзии? Почему мы не можем выразить всю сложность периодической таблицы Менделеева музыкальным произведением? Почему медитация не сильно помогает в предсказании результата экспериментов квантовой механики?

Лауреат нобелевской премии Юджин Вигнер, в своей статье «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», также задается этими вопросами. Вигнер не дал нам каких-то определенных ответов, он писал, что «невероятная эффективность математики в естественных науках — это что-то мистическое и этому нет рационального объяснения».

Альберт Эйнштейн по этому поводу писал:

Как может математика, порождение человеческого разума, независимое от индивидуального опыта, быть таким подходящим способом описывать объекты в реальности? Может ли тогда человеческий разум силой мысли, не прибегая к опыту, постичь свойства вселенной? [Einstein]

Давайте внесем ясность. Проблема действительно встает, когда мы воспринимаем математику и физику как две разные, превосходно сформированные и объективные области. Если смотреть на ситуацию с этой стороны, то действительно непонятно почему эти две дисциплины так хорошо работают вместе. Почему открытые законы физики так хорошо описываются (уже открытой) математикой?

Этот вопрос обдумывался многими людьми, и они дали множество решений этой проблемы. Теологи, например, предложили Существо, которое строит законы природы, и при этом использует язык математики. Однако введение такого Существа только все усложняет. Платонисты (и их кузены натуралисты) верят в существование «мира идей», который содержит все математические объекты, формы, а так же Истину. Там же находятся и физические законы. Проблема с Платонистами в том, что они вводят ещё одну концепцию Платонического мира, и теперь мы должны объяснить отношение между тремя мирами (прим. переводчика. Я так и не понял зачем третий мир, но оставил как есть). Так же встает вопрос являются ли неидеальные теоремы идеальными формами (объектами мира идей). Как насчет опровергнутых физических законов?

Наиболее популярная версия решения поставленной проблемы эффективности математики заключается в том, что мы изучаем математику, наблюдая за физическим миром. Мы поняли некоторые свойства сложения и умножения считая овец и камни. Мы изучили геометрию, наблюдая за физическими формами. С этой точки зрения, неудивительно, что физика идет за математикой, ведь математика формируется при тщательном изучении физического мира. Главная проблема с этим решением заключается в том, что математика неплохо используется в областях, далеких от человеческого восприятия. Почему же спрятанный мир субатомных частиц так хорошо описывается математикой, изученной благодаря подсчетам овец и камней? почему специальная теория относительности, которая работает с объектами, двигающимися со скоростями близкими к скорости света, хорошо описывается математикой, которая сформирована наблюдением за объектами, двигающимися с нормальной скоростью?

В двух статьях (один, два) Макр Зельцер и Я (Носон Яновски) сформулировали новый взгляд на природу математики (прим. переводчика. В целом в тех статьях написано то же, что и здесь, но куда более развернуто). Мы показали, что также, как и в физике, в математике огромную роль играет симметрия. Такой взгляд дает довольно оригинальное решение поставленной проблемы.

Что есть физика

Прежде чем рассматривать причину эффективности математики в физике, мы должны поговорить о том, что такое физические законы. Говорить, что физические законы описывают физические феномены, несколько несерьезно. Для начала можно сказать, что каждый закон описывает много явлений. Например закон гравитации говорит нам что будет, если я уроню свою ложку, также он описывает падение моей ложки завтра, или что будет если я уроню ложку через месяц на Сатурне. Законы описывают целый комплекс разных явлений. Можно зайти и с другой стороны. Одно физическое явление может наблюдаться совершенно по-разному. Кто-то скажет, что объект неподвижен, кто-то, что объект движется с постоянной скоростью. Физический закон должен описывать оба случая одинаково. Также, например, теория тяготения должна описывать мое наблюдение падающей ложки в двигающимся автомобиле, с моей точки зрения, с точки зрения моего друга, стоящего на дороге, с точки зрения парня, стоящего у него на голове, рядом с черной дырой и т.п.

Встает следующий вопрос: как классифицировать физические явления? Какие стоит группировать вместе и приписывать одному закону? Физики используют для этого понятие симметрии. В разговорной речи слово симметрия используют для физических объектов. Мы говорим, что комната симметрична, если левая её часть похожа на правую. Иными словами, если мы поменяем местами стороны, то комната будет выглядеть точно также. Физики немного расширили это определение и применяют его к физическим законам. Физический закон симметричен по отношению к преобразованию, если закон описывает преобразованный феномен таким же образом. Например, физические законы симметричны по пространству. То есть явление, наблюдаемое в Пизе, так же может наблюдаться в Принстоне. Физические законы также симметричны по времени, т.е. эксперимент, проведенный сегодня должен дать такие же результаты, как если бы его провели завтра. Ещё одна очевидная симметрия — ориентация в пространстве.

Существует множество других типов симметрий, которым должны соответствовать физические законы. Относительность по Галиею требует, чтобы физические законы движения оставались неизменными, независимо от того неподвижен объект, или двигается с постоянной скоростью. Специальная теория относительности утверждает, что законы движения должны оставаться прежними, даже если объект движется со скоростью, близкой к скорости света. Общая теория относительности говорит, что законы остаются прежними, даже если объект движется с ускорением.

Физики обобщали понятие симметрии по-разному: локальная симметрия, глобальная симметрия, непрерывная симметрия, дискретная симметрия и т.д. Виктор Стенджер объединил множество видов симметрии по тем, что мы называем инвариантность по отношению к наблюдателю (point of view invariance). Это означает, что законы физики должны оставаться неизменными, независимо от того, кто и как их наблюдает. Он показал как много областей современной физики (но не все) могут быть сведены к законам, удовлетворяющими инвариантности по отношению к наблюдателю. Это означает, что явления, относящиеся к одному феномену, связанны, несмотря на то, что они могут рассматриваться по-разному.

Понимание настоящей важности симметрии прошло с теорией относительности Эйнштейна. До него люди сначала открывали какой-то физический закон, а потом находили в нем свойство симметрии. Эйнштейн же использовал симметрию, чтобы найти закон. Он постулировал, что закон должен быть одинаков для неподвижного наблюдателя и для наблюдателя, двигающегося со скоростью, близкой к световой. С этим предположением, он описал уравнения специальной теории относительности. Это была революция в физике. Эйнштейн понял, что симметрия — определяющая характеристика законы природы. Не закон удовлетворяет симметрии, а симметрия порождает закон.

В 1918 году Эмми Нётер показала, что симметрия ещё более важное понятие в физике, чем думали до этого. Она доказала теорему, связывающую симметрии с законами сохранения. Теорема показала, что каждая симметрия порождает свой закон сохранения, и наоборот. Например инвариантность по смещению в пространстве порождает закон сохранения линейного импульса. Инвариантность по времени порождает закон сохранения энергии. Инвариантность по ориентации порождает закон сохранения углового момента. После этого физики стали искать новые виды симметрий, чтобы найти новые законы физики.

Таким образом мы определили что называть физическим законом. С этой точки зрения неудивительно, что эти законы кажутся нам объективными, вневременными, независимыми от человека. Так как они инвариантны по отношению к месту, времени, и взгляду на них человека, создается впечатление, что они существуют «где-то там». Однако на это можно посмотреть и по-другому. Вместо того, чтобы говорить, что мы смотрим на множество различных следствий из внешних законов, мы можем сказать, что человек выделил какие-то наблюдаемые физические явления, нашел в них что-то похожее и объединил их в закон. Мы замечаем только то, что воспринимаем, называем это законом и пропускаем все остальное. Мы не можем отказаться от человеческого фактора в понимании законов природы.

Каким будет будущее Вселенной?

Хрупкую временность бытия осознавали даже наши дикие предки. Поэтому примитивную эсхатологию — систему представлений о конце света — можно найти в самых древних мифах. В эпоху бурных теологических споров, когда считалось само собой разумеющимся, что Бог создал мир и он же положит ему конец, равнозначно рассматривались две версии будущего.

Первая гласила, что время существования Вселенной предопределено заранее, о чём сказано в Откровении Иоанна Богослова (Апокалипсисе). Сторонники другой версии считали, что Вселенная будет существовать вечно и после конца света Бог сотворит новые миры и новых людей, чтобы начать очередной цикл.

Научная эсхатология оформилась в XIX веке после того, как немецкий физик Рудольф Клаузиус в 1850 году вывел второе начало термодинамики. Оно гласило: «Теплота не может переходить сама собой от более холодного тела к более тёплому». Получалось, что преобразование энергии в природе имеет конкретную направленность и обратных процессов не существует. Следовательно, рано или поздно Вселенная остынет до равновесного теплового состояния, и всякое движение в ней прекратится.

Первым этот неутешительный прогноз высказал британский математик Уильям Томсон (барон Кельвин): в 1852 году он опубликовал статью, в которой на основе открытия Клаузиуса предсказал, что Солнце неизбежно погаснет, а Земля замёрзнет. В дальнейшем физики развили его соображения в гипотезу, получившую название «тепловая смерть Вселенной». Но это далеко не единственный сценарий далёкого будущего.

Когда Альберт Эйнштейн сформулировал положения общей теории относительности, в которой гравитация была определена как свойство пространственно-временного континуума, он задался серьёзным вопросом: если притяжение между телами действует всегда и везде, то почему они до сих пор не слиплись в единый ком? Может быть, помимо гравитации, в мире существует и антигравитация? Тогда физик ввёл в свои уравнения лямбда-член (космологическую постоянную), учитывающий «расталкивание», которое не даёт Вселенной схлопнуться.

В 1922 году советский физик Александр Фридман опубликовал уравнение, описывающее модель нестационарной расширяющейся Вселенной, в котором лямбда-член оказывался лишним. Сначала Эйнштейн не принял вариант Фридмана, поскольку физики первой четверти ХХ века разделяли идею вечной и бесконечной Вселенной. Однако вскоре астрономические наблюдения подтвердили теоретические выкладки: Эдвин Хаббл открыл разбегание галактик. Из этого родилась концепция Большого взрыва, которая и поныне главенствует в космологии.

С тех пор физики приблизительно представляют, что случилось в далёком прошлом, и даже сумели вычислить возраст Вселенной. Но что произойдёт в будущем?

Сравнительно недавно была обнаружена статья Эйнштейна «К космологической проблеме общей теории относительности» (1932), которая никогда не переводилась на английский язык, поэтому осталась без внимания мирового научного сообщества. Великий физик написал её на пару с нидерландским астрономом Виллемом де Ситтером; соавторы обосновывали циклическую модель Вселенной, согласно которой она не будет расширяться вечно. Гравитационная сила остановит разбегание, и начнётся Большое сжатие, которое приведёт Вселенную к исходному суперплотному состоянию, после чего снова произойдёт взрыв.

К этой же мысли пришли и другие учёные, но в 1934 году американец Ричард Толман показал, что циклическая модель нарушает второе начало термодинамики. Чтобы действие второго начала сохранялось, в каждом последующем цикле должно быть меньше свободной энергии. Если экстраполировать ситуацию в вечное прошлое, то получится, что вся энергия давным-давно должна была рассеяться, а Вселенная — прийти к «тепловой смерти». Но этого не произошло. Получается, что где-то во Вселенной есть источник возобновления энергии? Почему же мы его не наблюдаем?

Космологи неоднократно пытались примирить циклическую модель и второе начало термодинамики. В конце концов они пришли к теории Большого отскока, которую, в частности, разрабатывал физик Георгий Гамов, эмигрант из СССР. В её рамках утверждалось, что в сверхплотном состоянии действие фундаментальных законов природы кардинально меняется, поэтому мы ничего не можем сказать о предыдущей Вселенной, но, скорее всего, она была совершенно иной.

Число Данбара: почему мы можем поддерживать не более 150 отношений

Согласно теории Данбара, количество связей, с которыми люди способны «справиться», составляет 150 – будь то в ранних обществах охотников-собирателей или на современном рабочем месте.

Согласно теории о числе Данбара, мы можем поддерживать около 150 связей одновременно. Но является ли данное правило верным в современном мире социальных сетей?

Если вас когда-нибудь отвергал человек, который вам нравился, говоря, что вы можете быть просто друзьями, наверняка вы отвечали ему что-то вроде «У меня уже достаточно друзей». Вы, конечно же, имели в виду то, что эмоционального диапазона людей хватает только на определённое количество приятелей.

Оказывается, это не просто оправдание. Существуют чётко определённые ограничения на количество друзей и знакомых, которое может быть у среднестатистического человека. Однако действует ли это правило в современном цифровом мире, где у большинства людей есть профили в социальных сетях или на онлайн-форумах с тысячами подписчиков? Это сложный вопрос.

По словам британского антрополога Робина Данбара, «магическое число» равно 150. Данбар убедился, что существует соотношение между размерами мозга и размерами групп, изучая нечеловеческих приматов. Это соотношение было рассчитано с помощью нейровизуализации и определения количества времени, которое тратилось на груминг (обыскивание или чистка шерсти сородичей) – важную социальную особенность поведения приматов. Данбар пришёл к выводу, что размер неокортекса (по отношению к телу) – части мозга, связанной с познанием и языком – соотносим с размером сплочённой социальной группы. Это соотношение ограничивает сложность, с которой способна справиться социальная система.

Данбар и его коллеги применили этот основной принцип к людям, изучив исторические, антропологические и современные психологические данные о размерах групп, в том числе то, как формируются большие группы, прежде чем разделиться или распасться. Они обнаружили поразительное постоянство числа 150.

Согласно Данбару и многим другим исследователям, на которых он оказал влияние, это правило остаётся верным в отношении ранних обществ охотников-собирателей, а также удивительного множества современных групп: офисов, коммун, заводов, жилых комплексов, военных организаций, английских деревень, основанных в 11-м веке, и даже списков людей, кому вы хотите отправить рождественские открытки с поздравлениями. то она вряд ли долго просуществует или будет хорошо сплочённой. (Одно из последствий эпохи урбанизации может заключаться в том, что с целью избежать отчуждения или напряжённости городские жители должны образовывать квази-деревни в своих городах.)

В Данбаре просыпается чувство юмора, когда он слышит, что его имя становится синонимом числа – весьма необычно для социолога. «Самое странное, что большинство людей, в честь которых назвали те или иные вещи, уже мертвы», – сухо отмечает он.

Однако число 150 – это ещё не вся история. Другим числам также есть место в гипотезе социального мозга.

Согласно теории, в самый тесный круг входят лишь пять человек – это близкие люди. Далее следуют хорошие друзья (15 человек), друзья (50 человек), значимые контакты (150 человек), знакомые (500 человек) и люди, которых вы можете узнать (1500 человек). Люди мигрируют из одной категории в другую, но суть заключается в том, что для новых участников всегда найдётся место.

Данбар не знает, почему численность этих категорий кратна пяти. По его словам: «Кажется, число пять является фундаментальным для приматов в целом».

Конечно, все эти числа в действительности представляют собой диапазон. Экстраверты, как правило, имеют большую сеть контактов, в то время как интроверты концентрируются на меньшем количестве друзей. А у женщин всегда чуть больше контактов из самых близких категорий.

Самый тесный круг – это всего пять близких людей. Далее диапазон расширяется до 1500 человек, которых вы можете узнать.

«То, что определяет рассматриваемые категории в реальной жизни – это частота, с которой вы видите людей, – говорит Данбар. – Вы каждый день должны уделять время социальным взаимодействиям, однако он, как правило, ограничено».

Некоторые организации приняли эти идеи на веру. Шведское налоговое управление, к примеру, реструктурировало свои офисы, чтобы их численность оставалась в пределах 150 человек.

Обсуждение теории Данбара

Не все согласны с гипотезой социального мозга. Некоторые скептически относятся к идее «магического» числа, определяющего социальное взаимодействие.

Тем не менее, она может пригодиться, когда речь идёт об осмыслении сообществ и эволюции.

«И хотя есть множество факторов, которые могут ограничить количество создаваемых и поддерживаемых отношений, эти исследования помогают нам лучше понять... и измерить влияние таких переменных», – говорит Кристина Аседо Кармона, антрополог и экономист из Университета Леона в Испании.

Среди согласных с тем, что число Данбара можно определить, есть те, кто оспаривает результат 150. Исследования различных социальных групп в США показывают, что количество связей среднестатистического американца составляет 290. Однако оно может меняться под влиянием различных факторов.

Один из аргументов заключается в том, что количество социальных связей обычно не распределено (или имеет форму колоколообразной кривой). Следовательно, большое количество контактов нескольких человек может повлиять на среднее значение.

Например, если человек достаточно богат, чтобы нанять помощников для частичного управления своими отношениями – или доверить часть эмоционального труда другим – он может быть менее ограничен количеством отношений, которые способен поддерживать на комфортном для себя уровне. Как и во многих аспектах социальной жизни, люди с супер-связями обладают супер-привилегиями.

Количество контактов некоторых социальных групп в США может достигать 290.

Число Данбара также критикуют из-за методологических основ. Размеры мозга приматов зависят не только от социальной сложности: на них могут оказывать влияние такие факторы, как питание. Британско-голландская команда учёных заявила, что, хотя неокортекс и обладает ограниченными размерами, социальные возможности можно расширить в различных культурных условиях с помощью технологий. Одним из примеров является использование обширных списков контактов в мобильных телефонах жителями Ямайки, имеющими низкие доходы. Эти списки, предполагающие тщательное культивирование даже случайных связей, часто содержат гораздо больше, чем 150 контактов.

Последовательность Фибоначчи доказывает, что кошки совершенны

Всем давно известен факт, что Вселенная говорит с нами на языке математики. Одно из самых гармоничных и ярких подтверждений этой теории – последовательность чисел Фибоначчи, встречаемая в природе сплошь и рядом. Но в погоне за таинственным и неизвестным мы забыли, где на самом деле нужно искать совершенство.

А оно ведь рядом – мурчит рядом с нами и кажется, практически каждый их образ и поза были взяты за образец правил золотых сечений. И это немудрено, ведь коты идеальны. И мы наконец нашли этому научное подтверждение.

Золотое сечение — это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве — во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.

Наиболее ёмкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина — 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.

Математика – язык кошек, и это они первыми открыли так называемую последовательность чисел Фибоначчи. Нет, это был ни древнеиндийский математик Пингала, ни Леонардо из Пизы. Открытие принадлежит кошкам, только они назвали его «последовательность Фурбоначчи»! 
😊 😊 😊

Harmonia Macrocosmica

Harmonia macrocosmica seu atlas universalis et novus, totius universi creati cosmographiam generalem, et novam exhibens, Amsterdam : G. Valk und P. Schenk, 1708. Title page (colorized engraving) – [латинский язык]

Harmonia Macrocosmica - коллекция выдающихся работ известного немецкого математика и астролога Андреаса Целлариуса (1596-1665) отсылает нас к Золотому Веку небесной картографии.

В средних веках картография была одной из ключевых наук. Сами же карты были настолько ценны, что издавались в самом роскошном виде и были одним из самых недосягаемых предметов роскоши.

Впервые Harmonia Macrocosmica была издана в 1660 году и была основана на учениях известных астрологов, в том числе Николая Коперника. В картах описаны движение солнца и луны, взаимодействие галактических систем. Это самый красивый небесный атлас из всех, когда-либо изданных. Оригинал хранится в Библиотеке Университета Амстердама.

Гармония Макрокосмика Андреаса Целлариуса

Таблички с английским переводом титров

В следующей таблице перечислены латинские подписи, сопровождающие таблички Harmonia Macrocosmica Andreas Cellarius с переводом на английский язык.

Plate 1

Plate 2

Plate 3

Plate 4

Plate 5

Plate 6

Plate 7

Plate 8

Plate 9

Plate 10

Plate 11

Plate 12

Plate 13

Plate 14

Plate 15

Plate 17

Plate 18

Plate 19

Plate 20

Plate 21

Plate 22

Plate 23

Plate 24

Plate 25

Plate 26

Plate 27

Plate 28

Plate 29

1. PLANISPHÆRIVM PTOLEMAICVM, Sive Machina ORBIVM MVNDI EX HYPOTHESI PTOLEMAICA IN PLANO DISPOSITA – The planisphere of Ptolemy, or the mechanism (i.e. the movements) of the heavenly orbits following the hypothesis of Ptolemy laid out in a planar view.
2. SCENOGRAPHIA SYSTEMATIS MVNDANI PTOLEMAICI – Scenography of the Ptolemaic cosmography.
3. ORBIUM PLANETARUM TERRAM COMPLECTENTIUM SCENOGRAPHIA – Scenography of the planetary orbits encompassing the Earth.
4. PLANISPHÆRIVM COPERNICANVM Sive Systema VNIVERSI TOTIVS CREATI EX HYPOTHESI COPERNICANA IN PLANO EXHIBITVM – The planisphere of Copernicus, or the system of the entire created universe according to the hypothesis of Copernicus exhibited in a planar view.
5. SCENOGRAPHIA SYSTEMATIS COPERNICANI – Scenography of the Copernican world system.
6. PLANISPHÆRIVM BRAHEVM, Sive Structura MVNDI TOTIVS, EX HYPOTHESI TYCHONIS BRAHEI IN PLANO DELINEATA – The planisphere of Brahe, or the structure of the universe following the hypothesis of Tycho Brahe drawn in a planar view. Engraved in 1656.
7. SCENOGRAPHIA COMPAGIS MVNDANÆ BRAHEA – Scenography of the world’s construction according to (Tycho) Brahe.
8. PLANISPHÆRIVM ARATEVM Sive Compages ORBIVM MVNDANORVM EX HYPOTHESI ARATEA IN PLANO EXPRESSA – The planisphere of Aratus, or the composition of the heavenly orbits following the hypothesis of Aratus expressed in a planar view.
9. TYCHONIS BRAHE CALCVLVS, PLANETARVM CVRSVS ET ALTITVDINES OB OCVLOS PONENS – Tycho Brahe’s (method of) calculation pointing out the courses and altitudes (i.e. distances) of the planets. Engraved by Johannes van Loon.
10. CORPORUM COELESTIUM MAGNITUDINES – The sizes of the celestial bodies. Engraved by Johannes van Loon [in some copies the terrestrial sphere has the continents drawn in by hand].
11. SITVS TERRÆ CIRCVLIS COELESTIBVS CIRCVNDATÆ – The location of the Earth encircled by the celestial circles. Engraved by Johannes van Loon.
12. HÆMISPHÆRIA SPHÆRARUM RECTÆ ET OBLIQUÆ UTRIUSQUE MOTUS ET LONGITUDINES TAM COELESTES QUAM TERRESTRES AC STELLARUM AFFECTIONES MONS[T]RANTIA – Hemispheres displaying both the celestial and terrestrial motions and longitudes of either sphere, the upright sphere (i.e. the equatorial co-ordinate system) and the oblique sphere (i.e. the ecliptic co-ordinate system), along with the influences of the stars.
13. HEMISPHÆRIVM ORBIS ANTIQVI, CVM ZONIS, CIRCVLIS, ET SITV POPVLORUM DIVERSO – The hemisphere of the Old World, with its (climate) zones, (meridian) circles and the dwelling places of the distinctive races. Engraved by Johannes van Loon.
14. HYPOTHESIS PTOLEMAICA, SIVE COMMUNIS, PLANETARUM MOTUS PER ECCENTRICOS, ET EPICYCLOS DEMONSTRANS – The Ptolemaic or common(ly accepted) hypothesis, demonstrating the planetary motions in eccentric and epicyclical orbits.
15. TYPUS ASPECTUUM, OPPOSITIONUM ET CONIUNCTIONUM ETZ IN PLANETIS – The (astrological) aspects, such as opposition, conjunction, etc., among the planets. Engraved by Johannes van Loon.
16. THEORIA SOLIS PER ECCENTRICUM SINE EPICYCLO – Representation of the Sun in an eccentric orbit without epicycles. Engraved by Johannes van Loon.
17. SOLIS CIRCA ORBEM TERRARUM SPIRALIS REVOLUTIO – The (apparent) spiral revolution of the Sun around the Earth.
18. THEORIA LUNÆ, EIUS MOTUM PER ECCENTRICVM ET EPICYCLVM DEMONSTRANS – Representation of the Moon showing its motion in an eccentric orbit with epicycles. Engraved by Johannes van Loon.
19. TYPUS SELENOGRAPHICUS LUNÆ PHASES ET ASPECTUS VARIOS ADUMBRANS [some copies from the 1660 edition have the nonsensical reading ‘... OS ADVARIUMBRANS’] – Selenographic diagram depicting the varying phases and appearances of the Moon by (means of) shading. Engraving by Johannes van Loon.
20. THEORIA TRIUM SUPERIORUM PLANETARUM – Representation (of the motions) of the three superior planets (Mars, Jupiter & Saturn). Engraved by Johannes van Loon.
21. THEORIA VENERIS ET MERCURII – Representation (of the motions) of Venus and Mercury. Engraved by Johanne van Loon.
22. COELI STELLATI CHRISTIANI HÆMISPHÆRIUM PRIUS – First hemisphere with the Christianized firmament.
23. COELI STELLATI CHRISTIANI HÆMISPHÆRIUM POSTERIUS – Second hemisphere with the Christianized firmament.
24. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM BOREALE ANTIQVUM – The northern stellar hemisphere of antiquity.
25. HEMISPHÆRII BOREALIS COELI ET TERRÆ SPHÆRICA SCENOGRAPHIA – Spherical scenography of both the celestial and terrestrial northern hemispheres.
26. HÆMISPHÆRIUM STELLATVM BOREALE CVM SUBIECTO HÆMISPHÆRIO TERRESTRI – The northern stellar hemisphere, with the terrestrial hemisphere lying underneath.
27. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM AUSTRALE ANTIQUUM – The southern stellar hemisphere of antiquity.
28. HÆMISPHÆRIVM SCENOGRAPHICUM AUSTRALE COELI STELLATI ET TERRÆ – The southern hemisphere of both the starry vault and the Earth, shown scenographically.
29. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM AUSTRALE ÆQUALI SPHÆRARUM PROPORTIONE – The southern stellar hemisphere with equally proportioned (celestial and terrestrial) spheres.

In general, the plates of the 1660/61 editions are coloured in bright tones – those of the 1708 reprint tend to be more plain in colouring.

The above translations are based on the material kindly communicated to me by dr. Henry A.I. Stadhouders (Theological Institute, University of Utrecht).

Известные картины воссозданы при помощи математических алгоритмов

Ани Абакумова и ее муж Андрей Абакумов создают струнные репродукции знаменитых картин. Андрей делает компьютерные расчеты, которые показывают образцы для будущих изображений, затем Ани наматывает цветные нити на гвозди, забитые вокруг фанерного диска.

Программистка Ани Абакумова использует алгоритмы для размещения длинных цветных нитей, получая в итоге реплики классических картин.

Хотя математические формулы для размещения каждой нити созданы на ее компьютере, Абакумова выполняет всю работу по прикреплению каждой нити в правильном порядке вручную. Она работает исключительно на круговых обручах, сужая фокус на предмете каждой картины, такой как Мона Лиза или Девушка с жемчужной сережкой. Вы можете увидеть больше работ Ани в Instagram. Источник статьи и обсуждение на http://evrookna-mos.ru/originalno-izvestnye-kartiny-vossozdany-pri-pomoschi-matematicheskih-algoritmov.html

Джонатан Смит (Smith Jonathan C.) // «Псевдонаука и паранормальные явления: Критический взгляд»

Tarot cards for divination with death on white table //

Карты Таро для гадания со смертью на белом столе

В астрологию в наше время верит больше людей, чем в Средние века. В своей книге «Псевдонаука и паранормальные явления: Критический взгляд» профессор психологии Университета Рузвельта Джонатан Смит объясняет, как природные или числовые особенности, ошибки восприятия или памяти, эффект плацебо, сенсорные аномалии и галлюцинации заставляют нас верить в существование лохнесского чудовища и телепатические способности друзей.

Публикуется отрывок из главы, в которой ученый рассказывает, как непонимание законов статистики может стать причиной заблуждений и псевдонаучных выводов.

Нет ли здесь природных аномалий или особенностей мира чисел?

Мир полон загадок и сюрпризов. Чтобы убедиться в этом, достаточно заглянуть в последнее издание Книги рекордов Гиннесса или посмотреть телешоу «Невероятная коллекция мистера Рипли», в которых полно странных и необычных фактов. Ящерицы, которые умеют бегать по воде, двухголовые лягушки, рыбный дождь с неба, домохозяйки, способные поднять автомобиль, — развлечений хватит надолго.

В прежние времена многие из этих аномалий рассматривались бы как свидетельства в пользу паранормального. Сегодня исследователи паранормального не воспринимают Книгу рекордов Гиннесса и шоу Рипли как доказательства чего бы то ни было. Люди в большинстве своем понимают, что в них описаны естественные явления.

Но в мире так много странностей и аномалий, что для их описания не хватит никаких книг.

Многие из этих явлений искушают нас и предлагают поверить в паранормальное, поскольку очевидных естественных объяснений может и не быть.

• Тонкий покрытый илом предмет движется по волнам озера Лох-Несс. 

Что это: лох-несское чудовище (возможно, пришелец из другого измерения) или полузатонувшее бревно?

• Рука, помещенная на электрически заряженную фотопластинку, оставляет на ней свой сияющий силуэт. 

Что это: фотография духовной энергии или след электрического разряда?

• Цифровая камера снимает в доме с привидениями сияющий шар. 

Что это: привидение или блик от объектива?

•  Мраморная статуя Девы Марии плачет. 

А может быть, это влага из воздуха конденсируется на холодном камне?

• Много лет назад американские индейцы видели, как к их берегам приплыли паранормальные сущности (боги). 

А может быть, это были всего лишь испанские суда?

Случаи наблюдения НЛО — самый известный и самый распространенный, пожалуй, пример неверной интерпретации природных явлений и принятия их за паранормальные или пограничные.

Эра НЛО началась в 1947 г., когда Кеннет Арнольд, частный пилот, сообщил, что видел во время полета девять летающих объектов, похожих на блюдца. И тут же по всему миру люди начали наблюдать в небе летающие блюдца, или тарелки.

Затем наступил черед знаменитой истории с предполагаемым крушением НЛО в 1947 г. возле городка Розвелл в штате Нью-Мексико.

Позже выяснилось, что это был правительственный воздушный шар со сложной антенной для радара.

До сих пор появляются сообщения о новых случаях наблюдения НЛО; кроме того, в телевизионных «новостях» время от времени звучат «достоверные» рассказы экспертов, появляются фотографии и документальные фильмы.

Все эти случаи можно объяснить естественными явлениями (это могут быть планеты, звезды, отражения Луны, шаровые молнии, самолеты, ракеты-носители, спутники, воздушные шары, прожекторы, сигнальные вспышки, огни св. Эльма, искажения оптических камер, просто подделка в конце концов), а также случаями неверного восприятия, ошибок памяти и сенсорных аномалий (McGaha, 2009). Прекрасный обзор этих случаев можно найти в январско-февральском выпуске журнала Skeptical Inquirer (Frazier, 2009).

Оценка вероятности и погрешности

Как правило, мы, обычные люди, неверно оцениваем вероятности, потому что редко сталкиваемся с необычайным. Иногда причина кроется в том, что мы просто не знакомы с соответствующей статистикой. 

Приведем несколько примеров. 

• Кто подвергается большему риску погибнуть — мотоциклист или велосипедист? 

Вероятность погибнуть на мотоцикле составляет 1 к 938, а на велосипеде — 1 к 4472. 

• А если сравнить автобус и поезд? 

Ответ: на автобусе ваш риск составляет 1 к 94 242, а на поезде — 1 к 139 617 (www.NSC.org). 

• Что вероятнее — утонуть в бассейне или в ванне? 

1 к 6031 против 1 к 9377. 

• Выиграть джекпот в игральном автомате или в лотерею? 

1 к 16 777 216 против 1 к 175 711 536 (casinigambling.about.com). 

Другие статистические примеры вы можете найти на сайте www.veegle.com.

Однако люди при оценке вероятностей склонны совершать одни и те же систематические ошибки. Простой пример — ошибка, связанная с информационной доступностью (эвристика доступности), при которой человек замечает и запоминает ту информацию, которая чем-то выделяется из общего ряда (Tversky & Kahneman, 1973).

Представьте, к примеру, что прошлой ночью вы не могли заснуть, потому что собака соседа пару раз гавкнула. На следующее утро вы, уставший и невыспавшийся, жалуетесь соседу, что его собака лаяла всю ночь. Ночные мучения заставили вас запомнить собачий лай, в результате чего вы преувеличенно оцениваете его частоту.

Или еще: приятельница показывает вам замечательный газетный гороскоп, в котором говорится, что ее ждут деньги, и в тот же день находит на улице пять долларов. Этот случай запоминается и вызывает у вас комментарий о том, что «все свидетельствует в пользу астрологии». Именно ошибка доступности часто заставляет нас делать поспешные выводы и глобальные обобщения на основании нескольких частных случаев.

Иногда мы неверно оцениваем вероятности потому, что не знаем математических правил или вообще плохо учили в школе математику.

Наоборот, люди склонны преуменьшать вероятность редких негативных событий (к примеру, вероятность пострадать в автомобильной аварии или заболеть в результате курения), до тех пор пока событие не происходит на самом деле, пока человек не попадает в аварию или не заболевает. 

Задайте человеку, который не читал эту книгу, следующий вопрос: 

«Какова вероятность, что ты заболеешь в следующем месяце, в сравнении с другими людьми? Меньше, такая же или больше?» 

Большинство людей ответит «меньше», хотя закон больших чисел говорит: вероятность того, что средний человек заболеет в следующем месяце, будет, разумеется, средней. 

Попробуйте задать этот же вопрос группе из пятидесяти человек. 

Статистически, самым частым ответом должно быть «такая же»; на самом деле исследователи обнаруживают, что в большинстве своем испытуемые отвечают «меньше». 

Эта очень распространенная ошибка иллюстрирует неоправданный, или иллюзорный оптимизм (Weinstein, 1980; Weinstein & Klein, 1996) — тенденцию считать, что с тобой лично с большей вероятностью, чем с другими, случится что-то хорошее (прибавка к зарплате, новый друг, решение проблемы, выигрыш в лотерею) и одновременно с меньшей вероятностью — что-то плохое. Точно так же игроки склонны преувеличивать вероятность выигрыша, особенно если ставки высоки (Sanbonmatsu, Posavac & Stasney, 1997).

Неоправданный оптимизм может быть одной из причин того, почему каждый курильщик считает, что рискует меньше других курильщиков, почему каждый подросток считает, что он, в отличие от остальных, не заразится ВИЧ-инфекцией, почему автомобилисты так часто пренебрегают ремнями безопасности, а супружеские пары пытаются сохранить отношения, которые давно остыли. 

К счастью, существуют стратегии, позволяющие минимизировать риск подобных искажений; в их числе — собственный несчастливый опыт. Те, кто побывал в автомобильной аварии, чаще пользуются ремнями безопасности (McKenna & Albery, 2001). 

Тем не менее неоправданный оптимизм — обычная причина неверной оценки вероятностей. 

Беспринципный экстрасенс или астролог, знакомый с этой особенностью человеческого мышления, может спокойно предсказывать вам больше, чем остальным, приятных вещей и меньше неприятных. Скорее всего, вы с этим согласитесь.

Математическое невежество

Экстрасенс мадам Феба выступает с лекциями и пользуется большой популярностью. Каждую неделю она обращается к группе из примерно 75 заинтересованных слушателей. Каждую лекцию она начинает с драматической демонстрации своих паранормальных способностей.

Свет в зале гаснет, она закрывает глаза, поднимает руки и приглушенным голосом провозглашает:

«Я заявляю, что в этой комнате присутствует два человека, родившихся в один день. В один и тот же день и месяц». 

Затем она просит всех присутствующих написать на бумажке день своего рождения, после чего трое добровольцев производят подсчет, результаты которого объявляются в конце часовой презентации.

Примечательно, что мадам Феба делала это заявление сотни раз и практически всегда успешно (процент успеха приближается к 100%).