Последовательность Фибоначчи доказывает, что кошки совершенны

Всем давно известен факт, что Вселенная говорит с нами на языке математики. Одно из самых гармоничных и ярких подтверждений этой теории – последовательность чисел Фибоначчи, встречаемая в природе сплошь и рядом. Но в погоне за таинственным и неизвестным мы забыли, где на самом деле нужно искать совершенство.

А оно ведь рядом – мурчит рядом с нами и кажется, практически каждый их образ и поза были взяты за образец правил золотых сечений. И это немудрено, ведь коты идеальны. И мы наконец нашли этому научное подтверждение.

Золотое сечение — это универсальное проявление структурной гармонии. Оно встречается в природе, науке, искусстве — во всем, с чем может соприкоснуться человек. Однажды познакомившись с золотым правилом, человечество больше ему не изменяло.

Наиболее ёмкое определение золотого сечения гласит, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему целому. Приблизительная его величина — 1,6180339887. В округленном процентном значении пропорции частей целого будут соотноситься как 62% на 38%. Это соотношение действует в формах пространства и времени.

Древние видели в золотом сечении отражение космического порядка, а Иоганн Кеплер называл его одним из сокровищ геометрии. Современная наука рассматривает золотое сечение как «ассиметричную симметрию», называя его в широком смысле универсальным правилом отражающим структуру и порядок нашего мироустройства.

Математика – язык кошек, и это они первыми открыли так называемую последовательность чисел Фибоначчи. Нет, это был ни древнеиндийский математик Пингала, ни Леонардо из Пизы. Открытие принадлежит кошкам, только они назвали его «последовательность Фурбоначчи»! 
😊 😊 😊

Harmonia Macrocosmica

Harmonia macrocosmica seu atlas universalis et novus, totius universi creati cosmographiam generalem, et novam exhibens, Amsterdam : G. Valk und P. Schenk, 1708. Title page (colorized engraving) – [латинский язык]

Harmonia Macrocosmica - коллекция выдающихся работ известного немецкого математика и астролога Андреаса Целлариуса (1596-1665) отсылает нас к Золотому Веку небесной картографии.

В средних веках картография была одной из ключевых наук. Сами же карты были настолько ценны, что издавались в самом роскошном виде и были одним из самых недосягаемых предметов роскоши.

Впервые Harmonia Macrocosmica была издана в 1660 году и была основана на учениях известных астрологов, в том числе Николая Коперника. В картах описаны движение солнца и луны, взаимодействие галактических систем. Это самый красивый небесный атлас из всех, когда-либо изданных. Оригинал хранится в Библиотеке Университета Амстердама.

Гармония Макрокосмика Андреаса Целлариуса

Таблички с английским переводом титров

В следующей таблице перечислены латинские подписи, сопровождающие таблички Harmonia Macrocosmica Andreas Cellarius с переводом на английский язык.

Plate 1

Plate 2

Plate 3

Plate 4

Plate 5

Plate 6

Plate 7

Plate 8

Plate 9

Plate 10

Plate 11

Plate 12

Plate 13

Plate 14

Plate 15

Plate 17

Plate 18

Plate 19

Plate 20

Plate 21

Plate 22

Plate 23

Plate 24

Plate 25

Plate 26

Plate 27

Plate 28

Plate 29

1. PLANISPHÆRIVM PTOLEMAICVM, Sive Machina ORBIVM MVNDI EX HYPOTHESI PTOLEMAICA IN PLANO DISPOSITA – The planisphere of Ptolemy, or the mechanism (i.e. the movements) of the heavenly orbits following the hypothesis of Ptolemy laid out in a planar view.
2. SCENOGRAPHIA SYSTEMATIS MVNDANI PTOLEMAICI – Scenography of the Ptolemaic cosmography.
3. ORBIUM PLANETARUM TERRAM COMPLECTENTIUM SCENOGRAPHIA – Scenography of the planetary orbits encompassing the Earth.
4. PLANISPHÆRIVM COPERNICANVM Sive Systema VNIVERSI TOTIVS CREATI EX HYPOTHESI COPERNICANA IN PLANO EXHIBITVM – The planisphere of Copernicus, or the system of the entire created universe according to the hypothesis of Copernicus exhibited in a planar view.
5. SCENOGRAPHIA SYSTEMATIS COPERNICANI – Scenography of the Copernican world system.
6. PLANISPHÆRIVM BRAHEVM, Sive Structura MVNDI TOTIVS, EX HYPOTHESI TYCHONIS BRAHEI IN PLANO DELINEATA – The planisphere of Brahe, or the structure of the universe following the hypothesis of Tycho Brahe drawn in a planar view. Engraved in 1656.
7. SCENOGRAPHIA COMPAGIS MVNDANÆ BRAHEA – Scenography of the world’s construction according to (Tycho) Brahe.
8. PLANISPHÆRIVM ARATEVM Sive Compages ORBIVM MVNDANORVM EX HYPOTHESI ARATEA IN PLANO EXPRESSA – The planisphere of Aratus, or the composition of the heavenly orbits following the hypothesis of Aratus expressed in a planar view.
9. TYCHONIS BRAHE CALCVLVS, PLANETARVM CVRSVS ET ALTITVDINES OB OCVLOS PONENS – Tycho Brahe’s (method of) calculation pointing out the courses and altitudes (i.e. distances) of the planets. Engraved by Johannes van Loon.
10. CORPORUM COELESTIUM MAGNITUDINES – The sizes of the celestial bodies. Engraved by Johannes van Loon [in some copies the terrestrial sphere has the continents drawn in by hand].
11. SITVS TERRÆ CIRCVLIS COELESTIBVS CIRCVNDATÆ – The location of the Earth encircled by the celestial circles. Engraved by Johannes van Loon.
12. HÆMISPHÆRIA SPHÆRARUM RECTÆ ET OBLIQUÆ UTRIUSQUE MOTUS ET LONGITUDINES TAM COELESTES QUAM TERRESTRES AC STELLARUM AFFECTIONES MONS[T]RANTIA – Hemispheres displaying both the celestial and terrestrial motions and longitudes of either sphere, the upright sphere (i.e. the equatorial co-ordinate system) and the oblique sphere (i.e. the ecliptic co-ordinate system), along with the influences of the stars.
13. HEMISPHÆRIVM ORBIS ANTIQVI, CVM ZONIS, CIRCVLIS, ET SITV POPVLORUM DIVERSO – The hemisphere of the Old World, with its (climate) zones, (meridian) circles and the dwelling places of the distinctive races. Engraved by Johannes van Loon.
14. HYPOTHESIS PTOLEMAICA, SIVE COMMUNIS, PLANETARUM MOTUS PER ECCENTRICOS, ET EPICYCLOS DEMONSTRANS – The Ptolemaic or common(ly accepted) hypothesis, demonstrating the planetary motions in eccentric and epicyclical orbits.
15. TYPUS ASPECTUUM, OPPOSITIONUM ET CONIUNCTIONUM ETZ IN PLANETIS – The (astrological) aspects, such as opposition, conjunction, etc., among the planets. Engraved by Johannes van Loon.
16. THEORIA SOLIS PER ECCENTRICUM SINE EPICYCLO – Representation of the Sun in an eccentric orbit without epicycles. Engraved by Johannes van Loon.
17. SOLIS CIRCA ORBEM TERRARUM SPIRALIS REVOLUTIO – The (apparent) spiral revolution of the Sun around the Earth.
18. THEORIA LUNÆ, EIUS MOTUM PER ECCENTRICVM ET EPICYCLVM DEMONSTRANS – Representation of the Moon showing its motion in an eccentric orbit with epicycles. Engraved by Johannes van Loon.
19. TYPUS SELENOGRAPHICUS LUNÆ PHASES ET ASPECTUS VARIOS ADUMBRANS [some copies from the 1660 edition have the nonsensical reading ‘... OS ADVARIUMBRANS’] – Selenographic diagram depicting the varying phases and appearances of the Moon by (means of) shading. Engraving by Johannes van Loon.
20. THEORIA TRIUM SUPERIORUM PLANETARUM – Representation (of the motions) of the three superior planets (Mars, Jupiter & Saturn). Engraved by Johannes van Loon.
21. THEORIA VENERIS ET MERCURII – Representation (of the motions) of Venus and Mercury. Engraved by Johanne van Loon.
22. COELI STELLATI CHRISTIANI HÆMISPHÆRIUM PRIUS – First hemisphere with the Christianized firmament.
23. COELI STELLATI CHRISTIANI HÆMISPHÆRIUM POSTERIUS – Second hemisphere with the Christianized firmament.
24. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM BOREALE ANTIQVUM – The northern stellar hemisphere of antiquity.
25. HEMISPHÆRII BOREALIS COELI ET TERRÆ SPHÆRICA SCENOGRAPHIA – Spherical scenography of both the celestial and terrestrial northern hemispheres.
26. HÆMISPHÆRIUM STELLATVM BOREALE CVM SUBIECTO HÆMISPHÆRIO TERRESTRI – The northern stellar hemisphere, with the terrestrial hemisphere lying underneath.
27. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM AUSTRALE ANTIQUUM – The southern stellar hemisphere of antiquity.
28. HÆMISPHÆRIVM SCENOGRAPHICUM AUSTRALE COELI STELLATI ET TERRÆ – The southern hemisphere of both the starry vault and the Earth, shown scenographically.
29. HÆMISPHÆRIUM STELLATUM AUSTRALE ÆQUALI SPHÆRARUM PROPORTIONE – The southern stellar hemisphere with equally proportioned (celestial and terrestrial) spheres.

In general, the plates of the 1660/61 editions are coloured in bright tones – those of the 1708 reprint tend to be more plain in colouring.

The above translations are based on the material kindly communicated to me by dr. Henry A.I. Stadhouders (Theological Institute, University of Utrecht).

Известные картины воссозданы при помощи математических алгоритмов

Ани Абакумова и ее муж Андрей Абакумов создают струнные репродукции знаменитых картин. Андрей делает компьютерные расчеты, которые показывают образцы для будущих изображений, затем Ани наматывает цветные нити на гвозди, забитые вокруг фанерного диска.

Программистка Ани Абакумова использует алгоритмы для размещения длинных цветных нитей, получая в итоге реплики классических картин.

Хотя математические формулы для размещения каждой нити созданы на ее компьютере, Абакумова выполняет всю работу по прикреплению каждой нити в правильном порядке вручную. Она работает исключительно на круговых обручах, сужая фокус на предмете каждой картины, такой как Мона Лиза или Девушка с жемчужной сережкой. Вы можете увидеть больше работ Ани в Instagram. Источник статьи и обсуждение на http://evrookna-mos.ru/originalno-izvestnye-kartiny-vossozdany-pri-pomoschi-matematicheskih-algoritmov.html

Джонатан Смит (Smith Jonathan C.) // «Псевдонаука и паранормальные явления: Критический взгляд»

Tarot cards for divination with death on white table //

Карты Таро для гадания со смертью на белом столе

В астрологию в наше время верит больше людей, чем в Средние века. В своей книге «Псевдонаука и паранормальные явления: Критический взгляд» профессор психологии Университета Рузвельта Джонатан Смит объясняет, как природные или числовые особенности, ошибки восприятия или памяти, эффект плацебо, сенсорные аномалии и галлюцинации заставляют нас верить в существование лохнесского чудовища и телепатические способности друзей.

Публикуется отрывок из главы, в которой ученый рассказывает, как непонимание законов статистики может стать причиной заблуждений и псевдонаучных выводов.

Нет ли здесь природных аномалий или особенностей мира чисел?

Мир полон загадок и сюрпризов. Чтобы убедиться в этом, достаточно заглянуть в последнее издание Книги рекордов Гиннесса или посмотреть телешоу «Невероятная коллекция мистера Рипли», в которых полно странных и необычных фактов. Ящерицы, которые умеют бегать по воде, двухголовые лягушки, рыбный дождь с неба, домохозяйки, способные поднять автомобиль, — развлечений хватит надолго.

В прежние времена многие из этих аномалий рассматривались бы как свидетельства в пользу паранормального. Сегодня исследователи паранормального не воспринимают Книгу рекордов Гиннесса и шоу Рипли как доказательства чего бы то ни было. Люди в большинстве своем понимают, что в них описаны естественные явления.

Но в мире так много странностей и аномалий, что для их описания не хватит никаких книг.

Многие из этих явлений искушают нас и предлагают поверить в паранормальное, поскольку очевидных естественных объяснений может и не быть.

• Тонкий покрытый илом предмет движется по волнам озера Лох-Несс. 

Что это: лох-несское чудовище (возможно, пришелец из другого измерения) или полузатонувшее бревно?

• Рука, помещенная на электрически заряженную фотопластинку, оставляет на ней свой сияющий силуэт. 

Что это: фотография духовной энергии или след электрического разряда?

• Цифровая камера снимает в доме с привидениями сияющий шар. 

Что это: привидение или блик от объектива?

•  Мраморная статуя Девы Марии плачет. 

А может быть, это влага из воздуха конденсируется на холодном камне?

• Много лет назад американские индейцы видели, как к их берегам приплыли паранормальные сущности (боги). 

А может быть, это были всего лишь испанские суда?

Случаи наблюдения НЛО — самый известный и самый распространенный, пожалуй, пример неверной интерпретации природных явлений и принятия их за паранормальные или пограничные.

Эра НЛО началась в 1947 г., когда Кеннет Арнольд, частный пилот, сообщил, что видел во время полета девять летающих объектов, похожих на блюдца. И тут же по всему миру люди начали наблюдать в небе летающие блюдца, или тарелки.

Затем наступил черед знаменитой истории с предполагаемым крушением НЛО в 1947 г. возле городка Розвелл в штате Нью-Мексико.

Позже выяснилось, что это был правительственный воздушный шар со сложной антенной для радара.

До сих пор появляются сообщения о новых случаях наблюдения НЛО; кроме того, в телевизионных «новостях» время от времени звучат «достоверные» рассказы экспертов, появляются фотографии и документальные фильмы.

Все эти случаи можно объяснить естественными явлениями (это могут быть планеты, звезды, отражения Луны, шаровые молнии, самолеты, ракеты-носители, спутники, воздушные шары, прожекторы, сигнальные вспышки, огни св. Эльма, искажения оптических камер, просто подделка в конце концов), а также случаями неверного восприятия, ошибок памяти и сенсорных аномалий (McGaha, 2009). Прекрасный обзор этих случаев можно найти в январско-февральском выпуске журнала Skeptical Inquirer (Frazier, 2009).

Оценка вероятности и погрешности

Как правило, мы, обычные люди, неверно оцениваем вероятности, потому что редко сталкиваемся с необычайным. Иногда причина кроется в том, что мы просто не знакомы с соответствующей статистикой. 

Приведем несколько примеров. 

• Кто подвергается большему риску погибнуть — мотоциклист или велосипедист? 

Вероятность погибнуть на мотоцикле составляет 1 к 938, а на велосипеде — 1 к 4472. 

• А если сравнить автобус и поезд? 

Ответ: на автобусе ваш риск составляет 1 к 94 242, а на поезде — 1 к 139 617 (www.NSC.org). 

• Что вероятнее — утонуть в бассейне или в ванне? 

1 к 6031 против 1 к 9377. 

• Выиграть джекпот в игральном автомате или в лотерею? 

1 к 16 777 216 против 1 к 175 711 536 (casinigambling.about.com). 

Другие статистические примеры вы можете найти на сайте www.veegle.com.

Однако люди при оценке вероятностей склонны совершать одни и те же систематические ошибки. Простой пример — ошибка, связанная с информационной доступностью (эвристика доступности), при которой человек замечает и запоминает ту информацию, которая чем-то выделяется из общего ряда (Tversky & Kahneman, 1973).

Представьте, к примеру, что прошлой ночью вы не могли заснуть, потому что собака соседа пару раз гавкнула. На следующее утро вы, уставший и невыспавшийся, жалуетесь соседу, что его собака лаяла всю ночь. Ночные мучения заставили вас запомнить собачий лай, в результате чего вы преувеличенно оцениваете его частоту.

Или еще: приятельница показывает вам замечательный газетный гороскоп, в котором говорится, что ее ждут деньги, и в тот же день находит на улице пять долларов. Этот случай запоминается и вызывает у вас комментарий о том, что «все свидетельствует в пользу астрологии». Именно ошибка доступности часто заставляет нас делать поспешные выводы и глобальные обобщения на основании нескольких частных случаев.

Иногда мы неверно оцениваем вероятности потому, что не знаем математических правил или вообще плохо учили в школе математику.

Наоборот, люди склонны преуменьшать вероятность редких негативных событий (к примеру, вероятность пострадать в автомобильной аварии или заболеть в результате курения), до тех пор пока событие не происходит на самом деле, пока человек не попадает в аварию или не заболевает. 

Задайте человеку, который не читал эту книгу, следующий вопрос: 

«Какова вероятность, что ты заболеешь в следующем месяце, в сравнении с другими людьми? Меньше, такая же или больше?» 

Большинство людей ответит «меньше», хотя закон больших чисел говорит: вероятность того, что средний человек заболеет в следующем месяце, будет, разумеется, средней. 

Попробуйте задать этот же вопрос группе из пятидесяти человек. 

Статистически, самым частым ответом должно быть «такая же»; на самом деле исследователи обнаруживают, что в большинстве своем испытуемые отвечают «меньше». 

Эта очень распространенная ошибка иллюстрирует неоправданный, или иллюзорный оптимизм (Weinstein, 1980; Weinstein & Klein, 1996) — тенденцию считать, что с тобой лично с большей вероятностью, чем с другими, случится что-то хорошее (прибавка к зарплате, новый друг, решение проблемы, выигрыш в лотерею) и одновременно с меньшей вероятностью — что-то плохое. Точно так же игроки склонны преувеличивать вероятность выигрыша, особенно если ставки высоки (Sanbonmatsu, Posavac & Stasney, 1997).

Неоправданный оптимизм может быть одной из причин того, почему каждый курильщик считает, что рискует меньше других курильщиков, почему каждый подросток считает, что он, в отличие от остальных, не заразится ВИЧ-инфекцией, почему автомобилисты так часто пренебрегают ремнями безопасности, а супружеские пары пытаются сохранить отношения, которые давно остыли. 

К счастью, существуют стратегии, позволяющие минимизировать риск подобных искажений; в их числе — собственный несчастливый опыт. Те, кто побывал в автомобильной аварии, чаще пользуются ремнями безопасности (McKenna & Albery, 2001). 

Тем не менее неоправданный оптимизм — обычная причина неверной оценки вероятностей. 

Беспринципный экстрасенс или астролог, знакомый с этой особенностью человеческого мышления, может спокойно предсказывать вам больше, чем остальным, приятных вещей и меньше неприятных. Скорее всего, вы с этим согласитесь.

Математическое невежество

Экстрасенс мадам Феба выступает с лекциями и пользуется большой популярностью. Каждую неделю она обращается к группе из примерно 75 заинтересованных слушателей. Каждую лекцию она начинает с драматической демонстрации своих паранормальных способностей.

Свет в зале гаснет, она закрывает глаза, поднимает руки и приглушенным голосом провозглашает:

«Я заявляю, что в этой комнате присутствует два человека, родившихся в один день. В один и тот же день и месяц». 

Затем она просит всех присутствующих написать на бумажке день своего рождения, после чего трое добровольцев производят подсчет, результаты которого объявляются в конце часовой презентации.

Примечательно, что мадам Феба делала это заявление сотни раз и практически всегда успешно (процент успеха приближается к 100%).

Нобелевские лауреаты: отец сосудистого шва Алексис Каррель

Алексис Каррель

О том, как занятие вышивкой и убийство президента довело до Нобелевской премии, но не уберегло от нацистских убеждений, рассказываем в сегодняшней истории нобелевских лауреатов.

Алексис Каррель
Родился 28 июня 1873 года, Сент-Фуа-де-Лион, Франция
Умер 5 ноября 1944 года, Париж, Франция
Лауреат Нобелевской премии по физиологии или медицине 1912 года. 
Формулировка Нобелевского комитета: «За признание работы по сосудистому шву и трансплантации кровеносных сосудов и органов».

Наш герой родился во французском Лионе. Его отец, Алексис Каррель-Биллиард был заводчиком, производил и продавал шелк. Мать Алексиса-младшего, Анна-Мария, родила мужу трех детей, старшим из которых был будущий нобелевский лауреат, а затем и воспитала всех их, потому что вскоре после рождения третьего ребенка отец умер.

Первое образование, которое получил Каррель, было религиозным, поскольку Анна-Мария была истово верующей. Образование продолжилось в иезуитском колледже. Учился Каррель не очень хорошо, но зато у него был дядя со склонностью к химическим опытам и вскрытию мертвых птиц. Видимо, это так потрясло мальчика, что уже в 12 лет Алексис решил стать врачом.

Оканчивал Каррель сразу два вуза, получив бакалавра по литературе в Лионе и по медицине в Дижоне. Впрочем, степень доктора медицины он все-таки получил в родном городе, в университете которого и работал прозектором, делая вскрытия.

24 июня 1894 года французский президент Мари Франсуа Сади Карно произносил торжественную речь на выставке в Лионе. Когда Карно отъезжал с мероприятия, к его карете подскочил итальянский анархист Санте Казерио и ударил президента ножом. Вскоре после полуночи Карно скончался: нож задел артерию, и лучшие хирурги Франции ничего не смогли сделать. 21-летнего Карреля эта история поразила до глубины души. Он начал искать способы сшивать сосуды. И начал… с вышивки: чтобы овладеть техникой идеального шва, он освоил это, казалось бы, чисто женское занятие. Сразу же в таких тренировках Каррель использовал самые тонкие иглы и тончайшие шелковые нити. И постепенно у него начало получаться, а параллельно случались изобретения, которые потом вошли в историю медицины.

Покушение на Карно

Wikimedia Commons

Первое ноу-хау Карреля заключалось в том, что края разрезанных сосудов отворачивались наружу и сшивались так, чтобы с кровью контактировала только их внутренняя гладкая поверхность. Параллельно Каррель научился покрывать инструменты и нитки парафином. Обе эти меры помогали в борьбе с главной напастью сосудистой хирургии тех лет — образованием тромбов. Ведь любой фрагмент сосуда, любое загрязнение, попавшее в кровоток, могло привести к этому.

Следующая проблема была посерьезнее: очень сложно было шить по цилиндрической поверхности. И здесь Каррель принимает оригинальное решение — три натягивающих шва, которые превращали сечение сосудов в месте шва из круглого в треугольное. Чистая геометрия, но получить идеальный шов стало гораздо проще.

Иэн Стюарт. «Величайшие математические задачи» (отрывок из книги)

В своей книге «Величайшие математические задачи» английский популяризатор науки профессор Иэн Стюарт не только старается максимально доступно объяснить теорему Ферма, гипотезу Кеплера и прочие задачи, которые многим кажутся непостижимыми. Он также наглядно показывает, что новые открытия в математике происходят постоянно, а их практическое применение у каждого перед глазами, просто мало кто задумывается, например, что работа его смартфона построена на математических формулах.

Исторически новые достижения в математике часто следуют за открытиями в других областях знания. Исаак Ньютон, разработав законы механики и всемирного тяготения, которые описывают движение планет, не избавился разом от всех проблем в понимании устройства Солнечной системы. Наоборот, после этого перед математиками встал ряд новых вопросов: да, конечно, мы знаем законы, но что они подразумевают? В поисках ответов Ньютон придумал дифференциальное (интегральное) исчисление, но и у нового метода обнаружились ограничения. Зачастую он вместо ответа на вопрос просто дает иную его формулировку. Так, с его помощью некоторые задачи можно легко записать в виде специальной формулы, известной как дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения и есть искомый ответ. Но это решение еще надо найти. Тем не менее дифференциальное исчисление послужило мощным стартом. Оно показало, что ответ в принципе возможен, и снабдило ученых эффективным методом его поиска. До сих пор, хотя прошло уже больше 300 лет, этот метод помогает математикам совершать крупные открытия.

По мере того как росла сумма математических знаний человечества, все большую роль в мотивации новых исследований стал играть еще один фактор: внутренние запросы самой математики. Если, к примеру, вы умеете решать алгебраические уравнения первой, второй, третьей и четвертой степеней, вам не нужно обладать очень уж богатым воображением, чтобы задаться вопросом об уравнениях пятой степени. (По существу, степень уравнения есть мера его сложности, но чтобы задать очевидный вопрос, не обязательно даже знать, что это такое.) Если решение не дается — как, собственно, и было, — то этот факт сам по себе заставляет математиков еще более усердно искать его, и при этом неважно, будет ли вожделенный результат иметь какую-либо практическую пользу.

Я не утверждаю, что практическое приложение не имеет значения. Но если какая-то конкретная математическая составляющая раз за разом возникает в вопросах, скажем, физики волн — океанских волн, вибраций, звука, света, — то понятно, что исследовать ее закономерности было бы полезно. Не обязательно знать заранее, какое приложение найдет новая идея: тема волн фигурирует во многих важных областях, так что серьезные результаты непременно где-нибудь пригодятся. В данном случае этим «где-нибудь» стали радио, телевидение и радары. Если кто-то придумает новый подход к тепловым потокам и без всякого математического обоснования предложит новый блестящий метод, то, безусловно, будет очень полезно разобраться во всем этом как в чисто математической задаче. И даже если вам нет никакого дела до тепловых потоков, результат обязательно пригодится где-то еще. Фурье-анализ, разработанный в ходе исследования именно этой области, оказался, возможно, самой полезной математической идеей всех времен. Это, по существу, основа современных телекоммуникаций: он обеспечивает работу цифровых камер, помогает реставрировать старые кинофильмы и звукозаписи, а его современное расширение использует ФБР для хранения отпечатков пальцев.

За несколько тысячелетий подобная взаимосвязь между практическим применением математики и ее внутренней структурой привела к тому, что они тесно переплелись и стали почти неотделимы друг от друга. Тем не менее математика делится на две области: чистую и прикладную. Это деление помогает оценить место математических открытий в структуре человеческого знания, однако оно довольно условно. В лучшем случае так можно различить два конца одного непрерывного спектра математических стилей и методов. В худшем — такая классификация вводит нас в заблуждение относительно того, что именно приносит пользу и что служит источником идей. Как и в других областях науки, силу математике придает сочетание абстрактных рассуждений и вдохновения, почерпнутого из внешнего мира. Говоря попросту, они питают друг друга. Разделить математику на две составляющие не просто невозможно — это бессмысленно.

Большинство по-настоящему важных математических задач — великих задач, которым посвящена эта книга, — возникли внутри математического поля в процессе своеобразной интеллектуальной медитации. Причина проста: это сугубо математические задачи. Математика часто представляется набором изолированных областей, в каждой из которых господствуют собственные методы: это алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ, комбинаторика, теория вероятностей. Ее обычно так и преподают, и не без причины: четкое разделение тем помогает учащимся разложить по полочкам учебный материал в своей голове. И действительно, такое деление — вполне разумный способ понять в первом приближении структуру математической науки, особенно классической, давно устоявшейся. Однако на переднем крае исследований это четкое деление часто рушится. И дело не только в том, что границы между основными областями математики размыты, — в реальности их просто нет.

Каждый математик-исследователь знает, что в любой момент внезапно и непредсказуемо может оказаться, что проблема, над которой он работает, требует свежих идей из какой-то совершенно посторонней, на первый взгляд, области. Более того, новые исследования часто захватывают сразу несколько областей. К примеру, мои исследования сосредоточены по большей части на формировании структур в динамических системах — системах, которые изменяются во времени по определенным правилам. Типичный пример — движение животных. Лошадь при движении рысью раз за разом повторяет одну и ту же последовательность движений ног, и в этих движениях есть четкая закономерность: копыта ударяют по земле попеременно, диагональными парами. Иными словами, лошадь ставит сначала левую переднюю и правую заднюю ноги, затем правую переднюю и левую заднюю. О чем же эта задача? О паттернах, и тогда решать ее надо методами теории групп — алгебры симметрий? Или это задача из динамики — и тогда к решению нужно привлекать ньютоновские дифференциальные уравнения?

Ответ таков: эта задача по определению относится к обеим названным областям. Причем это не пересечение областей, где мог бы находиться материал, общий для обеих, — они почти не пересекаются. Нет, это новая «область», охватывающая два традиционных раздела математики. Она как мост через реку, разделяющую две страны, связывает их, но не принадлежит ни одной. Но этот мост — не узкая полоса дороги: по размерам его можно сравнить с каждой из соединяемых стран. И, что еще важнее, используемые здесь методы не ограничиваются теми, что используются на прилежащих территориях. Фактически в моих исследованиях пригодились знания во всех областях математики, которые я когда-либо изучал. Так, курс по теории Галуа, который я слушал в Кембридже студентом, был посвящен решению (или, точнее, анализу причин, по которым мы не можем их решить) алгебраических уравнений пятой степени. В курсе по теории графов говорилось о сетях, т. е. о точках, соединенных линиями. Я не занимался динамическими системами, поскольку защищал докторскую по алгебре, но с годами познакомился с основными понятиями по этой теме — от статических состояний до хаоса. Итак, теория Галуа, теория графов, динамические системы: три отдельные области. По крайней мере я считал их таковыми до 2011 г., когда меня вдруг заинтересовал вопрос распознавания хаотической динамики в сети динамических систем, и тогда необходимым для исследования оказалось все то, что я узнал 45 лет назад на курсе по теории Галуа.

Книжка-раскраска с золотыми пропорциями. Иллюстратор Рафаэль Араухо

Венесуэльский архитектор и иллюстратор Рафаэль Араухо (Rafael Araujo) использует карандаши, линейки, циркули и транспортир для создания прекрасных и точных рисунков-чертежей. В построении своих иллюстраций он применяет «золотое сечение», которое обозначается греческой буквой ϕ. Она равна приблизительно 1,618 и лежит в основе всевозможных природных спиралей, в последовательностях и пропорциях – от гипнотических завитушек разделённой на камеры раковины наутилуса до сбалансированных пропорций крыльев бабочки.

Работы Рафаэля Араухо уникальны тем, что он оставляет нетронутыми линии построения, которые формируют математическую основу для иллюстрации. На создание каждой композиции может потребоваться до 100 часов. Недавно Рафаэль получил заказ на свои принты в цветном варианте, из чего появилась идея создать красивую книжку-раскраску с лучшими авторскими иллюстрациями. Чтобы воплотить этот проект в жизнь, Араухо и его команда в Сиднее запустили краудфандинговую кампанию на Kickstarter.

Ракушка наутилуса

Раковина Фибоначчи

Двойная спираль голубых бабочек Морфо

Последовательность бесконечных движений бабочки

Парусник феб, тройная спираль

Неожиданный ответ мальчика на простую математическую задачу

Говорят, что настоящий мужчина всегда делает то, что хочет женщина, и большинство мужчин считает, что лучше не противоречить женщинам. Но, если посмотреть на вот этот случай, то можно сделать вывод, что новое поколение уже рождается с типом гена «уступчивости» в своем геноме. 😉

А произошло это в стране, где живут настоящие мачо: в школе Melipilla, около 75 км от Чьего. Родители мальчика выложили в фейсбук письменную работу, его решение математической задачи и объяснение, почему он ее решил таким образом.

Учитель задал простую математическую проблему:

«София говорит, что для того, чтобы купить книгу, которая стоит 3 990 долларов, ей нужны четыре купюры по тысяче долларов, и она получит сдачу. Хавьер говорит, что с тремя счетами в 1000 долларов достаточно и не придется возвращать остаток. Кто прав? Отметьте знаком Ok».

Школьник отметил, что Софи была права, но надо было еще объяснить ответ. И малыш объяснил:

«Потому что она женщина, а женщины всегда правы», - был краткий ответ парнишки.

Неизвестно, сколько лет мальчику, но, каракули и орфографические ошибки подсказывают, что ему должно быть около шести или семи лет. И уже специалист в том, кто держит верх в бесконечной войне полов...

facebook.com