Клиффорд Пиковер | Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов

Книга «Великая математика» включает 250 иллюстрированных исторических эссе, посвященных развитию математики. Каждая статья в доступной форме отражает квинтэссенцию описываемого математического достижения. Автор книги, известный популяризатор науки, блестящий журналист, выпускник Йельского университета, издал более 40 научно-популярных книг по математике, физике, медицине, религии, информатике и др., многие из которых переведены на иностранные языки. Для всех любителей математики.

Предлагаю ознакомиться с фрагментами из книги американского популяризатора науки Клиффорда Пиковера «Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики».

Книга Пиковера об истории математики появилась в 2009 году и получила премию Питера Неймана, присуждаемую Британским обществом истории математики. Книгу также высоко оценил Мартин Гарднер, написавший: 

«Клиффорд Пиковер, плодовитый писатель и бесспорный эрудит, создал восхитительное справочное издание.  Глубокая любовь доктора Пиковера к математике, его трепет перед ее тайнам, проникает в каждую страницу этого прекрасного тома».

Цикады и простые числа

Цикады – крылатые насекомые, появившиеся ок. 1,8 млн лет назад в эпоху плейстоцена, когда ледники попеременно занимали и оставляли территорию Северной Америки. Цикады из рода Magicicada (так называемые периодические цикады) проводят большую часть своей жизни под землей, питаясь соками корней растений, после чего выбираются на поверхность, где спариваются и быстро умирают. Этим существам свойственна одна удивительная особенность: время их появления из земли соответствует периодам, длительность которых обычно составляет 13 или 17 лет, т. е. является простым числом (простое число – такое целое число, у которого есть только два целых делителя: 1 и оно само, например 11, 13, 17). Весной 13-го или 17-го года своей жизни периодические цикады начинают строить туннель для выхода наружу. Иногда более полутора миллионов особей появляются одновременно на одном акре земли. Подобная массовость является одним из механизмов их выживания, поскольку служит быстрому пресыщению хищников, например птиц. Те просто не успевают съесть всех выбравшихся на поверхность цикад.

Исследователи предполагают, что формирование циклов длиной в простое число лет обусловлено тем, что таким образом повышается вероятность избежать встречи с более короткоживущими хищниками и паразитами. Например, если бы жизненный цикл таких цикад составлял 12 лет, они стали бы более легкой добычей для всей совокупности хищников с продолжительностью жизненных циклов 2, 3, 4 или 6 лет. Марио Маркус из Института молекулярной физиологии Общества Макса Планка (Дортмунд, Германия) вместе со своими коллегами обнаружил, что подобные «простые» циклы складываются естественным образом при математическом моделировании эволюционных изменений в результате взаимодействия «хищник–жертва». В ходе эксперимента моделируемым при помощи компьютера популяциям цикад были изначально приписаны случайные значения длительности жизненных циклов. Спустя определенное время последовательность мутаций неизменно приводила к выработке у моделируемых цикад стабильного цикла из простого числа лет.

Конечно, подобные исследования все еще находятся в зачаточном состоянии и оставляют множество вопросов без ответа. Что такого особенного в 13 и 17 годах? Какие именно хищники и паразиты обусловили именно такой сдвиг длительности жизненного цикла цикад? И по-прежнему остается загадкой, почему из всех известных науке 1500 видов этих насекомых лишь представители небольшого рода Magicicada являются периодическими.

Кость Ишанго

В 1960 г. бельгийский геолог и путешественник Жан де Хайнцелин де Брокур (1920–1998) обнаружил на территории современной Демократической Республики Конго кость павиана с нанесенными на нее отметками. Сначала предполагалось, что кость Ишанго является обычной счетной рейкой, использовавшейся африканцами каменного века. Однако, по мнению некоторых ученых, последовательность насечек свидетельствует о том, что математические способности ее владельца могли превосходить простые навыки счета объектов.

Кость была обнаружена в области Ишанго около верховий реки Нил, на территории которой располагалась стоянка большой группы людей палеолита. Позже эта местность оказалась погребена под пеплом при извержении вулкана. Один из рядов отметок на кости начинается с трех бороздок, число которых затем удваивается до шести. Четыре бороздки сменяются восемью. За десятью бороздками следуют пять. Это может свидетельствовать об общем понимании операций удвоения и деления пополам. Еще более удивительным кажется тот факт, что все числа во втором ряду являются нечетными (9, 11, 13, 17, 19, 21). В третьем ряду содержатся все простые числа между 10 и 20, а сумма всех чисел в каждом из трех рядов равняется либо 60, либо 48, а оба этих числа кратны 12.

Учеными найдено некоторое число палеолитических счетных реек, среди которых имеются и еще более древние, чем кость Ишанго. Например, в местности Лебомбо в Свазиленде была обнаружена малоберцовая кость павиана возрастом 37 000 лет с 29 насечками. Большеберцовая кость волка возрастом 32 000 лет с 57 насечками, разделенными на группы по пять, была найдена в Чехословакии. Хотя подобные построения и являются чисто умозрительными, некоторые исследователи даже выдвинули гипотезу о том, что отметки на кости Ишанго представляют собой некий вид лунного календаря, при помощи которого женщина каменного века отслеживала свой менструальный цикл. Это позволило им выдвинуть тезис: «Менструация породила математику». Даже если кость Ишанго представляет собой простое средство счета, сам факт наносимых для этой цели отметок отличает нас от животных и представляет собой первый шаг к символьным вычислениям. Полностью разгадать загадку кости Ишанго мы сможем только тогда, когда подобных ей объектов будет найдено больше.

Плимптон 322

«Плимптон 322» – название загадочной вавилонской глиняной таблички. В ней содержатся записанные клинописью числа, упорядоченные в таблицу из 4 столбцов и 15 строк. Историк науки Элеанор Робсон описывает ее как «один из самых знаменитых математических артефактов в мире». Табличка датируется ок. 1800 г. до н. э. и представляет собой перечень пифагоровых троек – таких целых чисел, которые соответствуют длинам сторон прямоугольного треугольника и удовлетворяют соотношению a² + b² = c², соответствующему теореме Пифагора. К примеру, пифагорову тройку образуют числа 3, 4, 5. Четвертая колонка таблицы попросту содержит номер строки. Единого мнения относительно назначения чисел в таблице не существует, но некоторые исследователи полагают, что они были набором решений, записанных учащимися при изучении алгебраических или тригонометрических задач.

Табличка «Плимптон 322» названа по имени нью-йоркского издателя Джорджа Плимптона, который в 1922 г. приобрел ее у торговца древностями за 10 долл., а затем передал в дар Колумбийскому университету. Она является памятником древневавилонской цивилизации, сложившейся в Месопотамии – плодородной долине между реками Тигр и Евфрат (территория современного Ирака). Если соотносить время создания таблички с известными историческими фактами, то можно сказать, что безымянный писец, ее автор, жил в пределах столетия относительно эпохи правления царя Хаммурапи, известного своим сводом законов и принципом «око за око, зуб за зуб». Судя по событиям библейской истории, Авраам, о котором говорится, что он увел своих людей к западу от расположенного на берегу Евфрата города Ура в Ханаан, также должен быть близким современником писца.

Вавилоняне писали на влажной глине, выдавливая на ней знаки стилом – особой заостренной палочкой для письма. В вавилонской системе счисления число 1 записывалось в виде единичного штриха, а числа от 2 до 9 представляли собой различные сочетания таких штрихов.

Го

Го – настольная игра для двух игроков, придуманная в Древнем Китае в примерно 2000 г. до н. э. Древнейшее письменное упоминание об этой игре можно найти в тексте «Цзо-Чжуань» («Комментариев Цзо») – раннем образце китайской исторической прозы, в котором упоминается о человеке, игравшем в эту игру в 548 г. до н. э. Из Китая игра в го попала в Японию, где в XIII в. приобрела огромную популярность. Во время игры два игрока поочередно ставят белые и черные камни на точки пересечения линий на игровой доске, разлинованной 19 × 19 линиями (размер классической доски, но могут использоваться и доски с меньшим или большим числом линий). Камень или группа камней считаются захваченными и удаляются с доски, если они полностью окружены камнями противоположного цвета. Цель игры состоит в том, чтобы занять на игровой доске бóльшую территорию, чем противник.

Игра в го сложна по многим причинам. Среди них большой размер игрового поля, многообразие стратегий и огромное число вариантов возможных партий. Простое обладание бóльшим числом камней, чем у противника, не обеспечивает победы. С учетом симметрии имеется 32 940 возможных игровых дебютов, из которых 992 считаются сильными. Число возможных вариантов расположения камней на доске обычно оценивают примерно в 10¹⁷², а число всех возможных партий – примерно в 10⁷⁶⁸. Как правило, игра между двумя хорошими игроками состоит из примерно 150 ходов, а среднее число возможных вариантов хода обычно составляет около 250. Если достаточно мощные программы для игры в шахматы способны победить сильнейших шахматистов, то лучшие программы для игры в го часто проигрывают одаренным школьникам.

Играющим в го компьютерам сложно просчитывать ход игры наперед, поскольку при этом приходится рассматривать гораздо большее число осмысленных вариантов ходов, чем в шахматах. Процесс оценки выгодности определенной позиции также весьма затруднителен, поскольку различие между позициями всего в одной незанятой точке может влиять на судьбу больших групп камней.

В 2006 г. два венгерских исследователя заявили о создании алгоритма, названного ими UCT (от англ. Upper Confidence bounds applied to Trees, алгоритм с использованием верхних доверительных пределов применительно к древовидным структурам), который способен состязаться с профессиональными игроками в го, но лишь на досках, разлинованных 9 × 9 линиями. Алгоритм UCT помогает компьютеру отобрать для дальнейшего анализа наиболее эффективные ходы.

Гиппократовы луночки

Древнегреческие математики были зачарованы присущими геометрии красотой, симметрией и порядком. Разделяя с прочими это страстное увлечение, Гиппократ из Хиоса показал, каким образом можно построить квадрат, равный по площади заданной луночке – серповидной фигуре, образованной выпуклыми дугами двух окружностей. Нахождение Гиппократом квадратуры луночек является одним из наиболее ранних из известных примеров математических доказательств. Другими словами, Гиппократ продемонстрировал, что площадь этих луночек может быть в точности выражена через площадь прямолинейной фигуры, или «квадратуры». В приведенном здесь примере суммарная площадь желтых луночек, касающихся вершин прямоугольного треугольника, равна площади этого треугольника.

Под нахождением квадратуры древними греками понималось построение при помощи циркуля и линейки такого квадрата, площадь которого была бы равна площади заданной фигуры. Если такое построение возможно, о фигуре говорят, что она является квадрируемой. Греки хорошо освоили построение квадратур многоугольников, но задачи нахождения квадратуры криволинейных фигур оказались гораздо сложнее. Собственно, на первый взгляд было весьма сомнительно, что криволинейные объекты вообще можно квадрировать.

Гиппократ также известен тем, что составил первый известный систематический труд по геометрии, сделав это почти за столетие до Евклида. Евклид мог использовать некоторые из идей Гиппократа в собственных «Началах». Сочинения Гиппократа примечательны тем, что они заложили общие структурные основы, от которых могли в дальнейшем отталкиваться другие математики.

Поиски Гиппократом решения для задачи о луночках были попыткой продвинуться в нахождении «квадратуры круга» – построении квадрата, равновеликого (равного по площади) кругу. Математики пытались решить проблему «квадратуры круга» на протяжении более 2000 лет, пока наконец в 1882 г. Фердинанд фон Линдеман не доказал, что это невозможно. Сейчас нам известно, что существует всего пять типов квадрируемых луночек. Три из них были открыты Гиппократом, а два других найдены в середине 1770-х гг.

Законы Мерфи и узлы

С давних времен моряки и ткачи замечали, что канаты и нити имеют явную тенденцию запутываться и завязываться в узлы, что является проявлением знаменитого закона Мерфи, гласящего, что если какая-то неприятность может произойти, то она обязательно произойдет. Тем не менее до недавнего времени не существовало строгой теории, объясняющей данный феномен. Рассмотрим только один практический результат завязывания узлов: один узел на тросе альпиниста может снизить максимальную прочность троса на разрыв на целых 50%.

В 1988 г. математик Де Витт Л. Самнерс и химик Стюарт Дж. Уиттингтон четко выявили эти явления путем моделирования тросов, канатов и других струноподобных объектов, таких как химические полимерные цепи, как случайные блуждания без самопересечений. Представьте себе муравья, отдыхающего в некоторой точке кубической пространственной решетки. Он может случайно передвигаться в любом из шести направлений, прокладывая свой путь по этой решетке (т. е. назад или вперед в любом из трех направлений). Для того чтобы смоделировать физический объект, который не может занимать одновременно одну и ту же точку в пространстве, траектория движения муравья избегает самопересечений, так что в пространстве нет такой точки, в которой муравей побывал бы больше одного раза. На основе своих исследований Самнерс и Уиттингтон доказали общий результат: почти все достаточно длинные траектории случайных блужданий без самопересечений содержат узлы.

Кроме того, что их исследование помогает объяснить, почему длинный садовый шланг в вашем гараже с большой долей вероятности может завязаться в узел или почему веревка с узлами, найденная на месте преступления, может не иметь значения для судебной экспертизы, эта работа имеет огромное значение для нашего понимания переплетающихся спиралей ДНК и структуры белка. Давным-давно, специалисты по фолдингу белка полагали, что образование узла выходит за рамки возможностей белковой молекулы, но в настоящее время был найден ряд таких узлов. Некоторые из этих узлов могут стабилизировать структуру белка. Если ученые смогли бы точно предсказывать структуру белка, то они смогли бы лучше понять причины заболеваний и разрабатывать новые лекарства, которые основаны на знании трехмерной формы белка.

Кривая бабочки

Кривая бабочки

Параметризация – это система уравнений, которая выражает совокупность величин как функций нескольких независимых переменных. Кривая на плоскости, как часто говорят, является параметризованной, если набор координат (х, у) на кривой представлен в виде функции переменной t. Например, в обычных декартовых координатах мы имеем стандартное уравнение окружности: х² + y² = r², где r – радиус окружности. Мы также можем определить окружность с помощью параметрических уравнений: x = r cos (t), у = r sin(t), где 0 < t ≤ 360°, или 0 < t ≤ 2π. Для построения графика программисты используют растущее значение t и соединяют полученные на графике точки (х, у) сплошной линией.

Математики и художники в области компьютерной графики часто прибегают к параметрическим представлениям, потому что некоторые геометрические формы очень трудно описать в виде одиночных уравнений таким же способом, который использовался для окружности. Например, чтобы нарисовать коническую спираль, можно использовать уравнения x = a z  sin(t), y = a z cos(t) и z = t/(2 π c), где a и c являются константами. В наши дни коническую спираль используют в некоторых видах антенн.

Красота многих алгебраических и трансцендентных кривых выражается в их симметрии, лепестках и листиках, а также в их асимптотическом поведении. Кривые в виде крыльев бабочки, разработанные Темплом Феем в то время, когда он работал в Университете Южного Миссисипи, являются одним из таких типов кривых красивой, сложной формы. Уравнение для кривой в виде крыльев бабочки может быть записано в полярных координатах как ρ = e^cosθ – 2cos(4θ) + sin⁵(θ/12). Эта формула описывает траекторию движения точки, соответствующую форме крыльев бабочки. Переменная ρ – расстояние от точки до начала координат. Кривая бабочки с момента ее первого представления в 1989 г. продолжает очаровывать своей красотой как студентов, так и математиков, и воодушевляет студентов на эксперименты с ее вариантами с более длительными периодами повторения, такими, как как ρ = e^cosθ – 2,1cos(6θ) + sin⁷(θ/30).

Парадокс Паррондо

В конце 1990-х гг. испанский физик Хуан Паррондо показал, как, играя поочередно в две игры, в каждой из которых гарантирован проигрыш, можно заведомо выиграть и обогатиться. Научно-популярная писательница Сандра Блэйксли написала, что «то, что открыл Паррондо, кажется новым законом природы, который может помочь объяснить, среди всего прочего, как из первичного бульона возникла жизнь, почему популярность президента Клинтона выросла после того как он попал в секс-скандал, и почему инвестирование в падающие акции может иногда приводить к большему приросту капитала». Ошеломляющий парадокс имеет различные приложения: от динамики роста народонаселения до оценки финансовых рисков.

Чтобы понять этот парадокс, представьте, что вы играете в две азартные игры с подбрасыванием несимметричной монеты. Вероятность P₁ выигрыша в игре А меньше 50% и выражается формулой P₁ = 0,5 – х. Если вы выиграете, то получите 1 долл., в противном случае вы потеряете 1 долл. В игре B вы проверяете, не вырос ли ваш выигрыш на величину, кратную 3. Если нет, то вы подбрасываете другую несимметричную монету с вероятностью выигрыша P₂ = (3/4 – х). Если да, то вы подбрасываете третью несимметричную монету с вероятностью выигрыша P₃ = (1/10 – х).

Играя по отдельности либо в игру А, либо в игру B, например при х = 0,005, в долгосрочной перспективе вы гарантированно проиграете. Однако если вы будете играть в них поочередно (или даже если вы случайно будете переключаться между этими играми), ваш выигрыш в конечном итоге превзойдет самые смелые ожидания! Обратите внимание, что результат игры А влияет на игру B в течение чередования этих игр.

Впервые Паррондо придумал свою парадоксальную игру в 1996 г. Инженер в области биомедицины Дерек Эббот из Университета Аделаиды, Австралия, придумал термин «парадокс Паррондо», после чего в 1999 г. Эббот опубликовал свою работу, в которой была произведена проверка противоречащего интуиции результата, полученного самим Паррондо.

Поиски холиэдра

Рассмотрим традиционный многогранник, построенный из набора многоугольников, являющихся гранями. Холиэдром называется такой многогранник, у каждой грани которого имеется по крайней менее одно отверстие в форме многоугольника. Границы этих отверстий не имеют общих точек ни друг с другом, ни с ребрами многогранника.

Например, рассмотрим сплошной куб, имеющий шесть граней. Затем представим себе, что через одну из граней мы вдвигаем в этот куб пятигранный стержень, который проходит куб насквозь и выходит с другой стороны, образуя пятиугольный туннель. В данный момент мы построили объект с 11 гранями (6 исходных граней куба и 5 новых граней в пятиугольном туннеле), и только у 2 из этих 11 граней имеются пробитые в них отверстия. Каждый раз, когда мы будем пробивать отверстие, мы будем создавать еще большее количество новых граней.

Огромная проблема при построении холиэдра заключается в том, чтобы проделать отверстия таким образом, чтобы они в конечном счете прошли более чем через одну грань с целью сокращения числа граней, которые остались совсем без отверстий.

Концепция холиэдра впервые была предложена математиком Джоном Х. Конвеем из Принстона в 1990-х гг., который предложил награду в размере 10 000 долл. любому, кто сможет найти такие объекты. Он также оговорил в качестве особого условия, что его денежное вознаграждение будет разделено на количество граней такого объекта. В 1997 г. Дэвид У. Уилсон придумал слово «холиэдр» для обозначения такого перфорированного многогранника.

Наконец, в 1999 г. американский математик Джейд П. Винсон обнаружил первый в мире образец холиэдра, насчитывающего в общей сложности 78 585 627 граней (которые, очевидно, сильно уменьшили денежный приз Винсона)! В 2003 г. специалист по компьютерной графике Дон Хэтч обнаружил холиэдр с 492 гранями. Поиск новых холиэдров продолжается.

Задача о складывании простыни

Представьте, что ночью у вас случилась бессонница и вы решили снять с кровати простыню, которая в толщину составляет около 0,4 мм. Вы сложили ее один раз, и ее толщина стала равной 0,8 мм. Сколько раз вам надо сложить простыню, чтобы ее толщина стала равной расстоянию от Земли до Луны? Самое замечательное, что если вы сложите простыню всего лишь 40 раз, то вы будете спать на Луне!

В другом варианте этой задачи у вас в руках лист простой бумаги толщиной 0,1 мм. Если бы вы могли сложить его 51 раз, то толщина сложенного листа стала бы больше, чем расстояние от Земли до Солнца! Увы, физически нельзя сложить такие объекты столько раз. На всем протяжении 1900-х гг. преобладал здравый смысл, подсказывающий, что в реальности лист бумаги нельзя сложить пополам более 7 или 8 раз, даже если исходный лист бумаги был большим. Тем не менее в 2002 г. школьница Бритни Гэлливен потрясла мир известием о том, что она смогла сложить лист пополам 12 раз.

В 2001 г. Гэлливен выписала формулу, которая характеризует предельное число раз, в которое можно сложить лист бумаги данного размера в одном направлении. Для случая листа толщиной t можно найти исходную минимальную длину бумаги L, необходимую для складывания листа n раз: L = [(πt)/6] × (2ⁿ + 4) × (2ⁿ – 1). Можно исследовать характер изменения функции (2ⁿ + 4) × (2ⁿ – 1).

Начиная с n = 0, получаем последовательность целых чисел 0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074 .... Это означает, что при складывании листа бумаги пополам в одиннадцатый раз количество материала, которое будет потеряно на складывание вдоль краев складок, будет в 700 074 раз больше того количества материала, которое потеряется при первом складывании пополам.

NP-полнота игры «Тетрис»

Тетрис – весьма популярная видеоигра, представляющая собой падающие кирпичики, изобретенная в 1985 г. российским компьютерным инженером Алексеем Пажитновым. В 2002 г. специалисты по компьютерным вычислениям количественно оценили трудность игры «Тетрис» и показали, что она имеет сходство со сложнейшими проблемами математики, которые не имеют простых решений, а для нахождения оптимальных решений требуют полного перебора вариантов.

В тетрисе игральные фигурки появляются в верхней части игрового поля и падают вниз. По мере медленного падения вниз данной фигурки, игрок может поворачивать ее, либо двигать из стороны в сторону. Фигурки называются «тетрамино» и состоят из четырех соединенных вместе квадратиков. Тетрамино имеют форму буквы «T», либо другую более простую форму. Когда одна фигурка достигает своего места в нижней части поля, где она останавливается, сверху начинает падать следующая. Всякий раз, когда ряд внизу заполняется квадратиками без пробелов, этот ряд удаляется, а все ряды выше него опускаются на один ряд вниз. Игра заканчивается, когда новая фигурка тетрамино не сможет упасть, потому что она блокируется. Цель игрока заключается в том, чтобы играть как можно дольше для максимального увеличения своего счета.

В 2002 г. Эрик Д. Демэйн, Сьюзан Хохенбергер и Дэвид Либен-Новелл исследовали обобщенную версию этой игры, в которой сетка игрового поля могла бы иметь любое количество квадратов в ширину и высоту. Эта группа исследователей обнаружила, что, если попытаться максимально увеличить количество рядов при игре с заданной последовательностью тетрамино, то игра окажется NP-полной («NP» расшифровывается как «недетерминировано-полиномиальная»). Несмотря на то что задачу такого класса можно проверить на предмет правильности ее решения, в действительности для нахождения ее решения может потребоваться чрезмерно много времени. Классическим примером NP-полной задачи является задача коммивояжера, которая состоит в нахождении кратчайшего маршрута продавца, либо сотрудника службы доставки, который должен посетить много разных городов. Такие задачи являются трудными, потому что нет быстрого и эффективного алгоритма для поиска их решений.

Скриншоты: