В своей книге «Величайшие математические задачи» английский популяризатор науки профессор Иэн Стюарт не только старается максимально доступно объяснить теорему Ферма, гипотезу Кеплера и прочие задачи, которые многим кажутся непостижимыми. Он также наглядно показывает, что новые открытия в математике происходят постоянно, а их практическое применение у каждого перед глазами, просто мало кто задумывается, например, что работа его смартфона построена на математических формулах.
Исторически новые достижения в математике часто следуют за открытиями в других областях знания. Исаак Ньютон, разработав законы механики и всемирного тяготения, которые описывают движение планет, не избавился разом от всех проблем в понимании устройства Солнечной системы. Наоборот, после этого перед математиками встал ряд новых вопросов: да, конечно, мы знаем законы, но что они подразумевают? В поисках ответов Ньютон придумал дифференциальное (интегральное) исчисление, но и у нового метода обнаружились ограничения. Зачастую он вместо ответа на вопрос просто дает иную его формулировку. Так, с его помощью некоторые задачи можно легко записать в виде специальной формулы, известной как дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения и есть искомый ответ. Но это решение еще надо найти. Тем не менее дифференциальное исчисление послужило мощным стартом. Оно показало, что ответ в принципе возможен, и снабдило ученых эффективным методом его поиска. До сих пор, хотя прошло уже больше 300 лет, этот метод помогает математикам совершать крупные открытия.
По мере того как росла сумма математических знаний человечества, все большую роль в мотивации новых исследований стал играть еще один фактор: внутренние запросы самой математики. Если, к примеру, вы умеете решать алгебраические уравнения первой, второй, третьей и четвертой степеней, вам не нужно обладать очень уж богатым воображением, чтобы задаться вопросом об уравнениях пятой степени. (По существу, степень уравнения есть мера его сложности, но чтобы задать очевидный вопрос, не обязательно даже знать, что это такое.) Если решение не дается — как, собственно, и было, — то этот факт сам по себе заставляет математиков еще более усердно искать его, и при этом неважно, будет ли вожделенный результат иметь какую-либо практическую пользу.
Я не утверждаю, что практическое приложение не имеет значения. Но если какая-то конкретная математическая составляющая раз за разом возникает в вопросах, скажем, физики волн — океанских волн, вибраций, звука, света, — то понятно, что исследовать ее закономерности было бы полезно. Не обязательно знать заранее, какое приложение найдет новая идея: тема волн фигурирует во многих важных областях, так что серьезные результаты непременно где-нибудь пригодятся. В данном случае этим «где-нибудь» стали радио, телевидение и радары. Если кто-то придумает новый подход к тепловым потокам и без всякого математического обоснования предложит новый блестящий метод, то, безусловно, будет очень полезно разобраться во всем этом как в чисто математической задаче. И даже если вам нет никакого дела до тепловых потоков, результат обязательно пригодится где-то еще. Фурье-анализ, разработанный в ходе исследования именно этой области, оказался, возможно, самой полезной математической идеей всех времен. Это, по существу, основа современных телекоммуникаций: он обеспечивает работу цифровых камер, помогает реставрировать старые кинофильмы и звукозаписи, а его современное расширение использует ФБР для хранения отпечатков пальцев.
За несколько тысячелетий подобная взаимосвязь между практическим применением математики и ее внутренней структурой привела к тому, что они тесно переплелись и стали почти неотделимы друг от друга. Тем не менее математика делится на две области: чистую и прикладную. Это деление помогает оценить место математических открытий в структуре человеческого знания, однако оно довольно условно. В лучшем случае так можно различить два конца одного непрерывного спектра математических стилей и методов. В худшем — такая классификация вводит нас в заблуждение относительно того, что именно приносит пользу и что служит источником идей. Как и в других областях науки, силу математике придает сочетание абстрактных рассуждений и вдохновения, почерпнутого из внешнего мира. Говоря попросту, они питают друг друга. Разделить математику на две составляющие не просто невозможно — это бессмысленно.
Большинство по-настоящему важных математических задач — великих задач, которым посвящена эта книга, — возникли внутри математического поля в процессе своеобразной интеллектуальной медитации. Причина проста: это сугубо математические задачи. Математика часто представляется набором изолированных областей, в каждой из которых господствуют собственные методы: это алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ, комбинаторика, теория вероятностей. Ее обычно так и преподают, и не без причины: четкое разделение тем помогает учащимся разложить по полочкам учебный материал в своей голове. И действительно, такое деление — вполне разумный способ понять в первом приближении структуру математической науки, особенно классической, давно устоявшейся. Однако на переднем крае исследований это четкое деление часто рушится. И дело не только в том, что границы между основными областями математики размыты, — в реальности их просто нет.
Каждый математик-исследователь знает, что в любой момент внезапно и непредсказуемо может оказаться, что проблема, над которой он работает, требует свежих идей из какой-то совершенно посторонней, на первый взгляд, области. Более того, новые исследования часто захватывают сразу несколько областей. К примеру, мои исследования сосредоточены по большей части на формировании структур в динамических системах — системах, которые изменяются во времени по определенным правилам. Типичный пример — движение животных. Лошадь при движении рысью раз за разом повторяет одну и ту же последовательность движений ног, и в этих движениях есть четкая закономерность: копыта ударяют по земле попеременно, диагональными парами. Иными словами, лошадь ставит сначала левую переднюю и правую заднюю ноги, затем правую переднюю и левую заднюю. О чем же эта задача? О паттернах, и тогда решать ее надо методами теории групп — алгебры симметрий? Или это задача из динамики — и тогда к решению нужно привлекать ньютоновские дифференциальные уравнения?
Ответ таков: эта задача по определению относится к обеим названным областям. Причем это не пересечение областей, где мог бы находиться материал, общий для обеих, — они почти не пересекаются. Нет, это новая «область», охватывающая два традиционных раздела математики. Она как мост через реку, разделяющую две страны, связывает их, но не принадлежит ни одной. Но этот мост — не узкая полоса дороги: по размерам его можно сравнить с каждой из соединяемых стран. И, что еще важнее, используемые здесь методы не ограничиваются теми, что используются на прилежащих территориях. Фактически в моих исследованиях пригодились знания во всех областях математики, которые я когда-либо изучал. Так, курс по теории Галуа, который я слушал в Кембридже студентом, был посвящен решению (или, точнее, анализу причин, по которым мы не можем их решить) алгебраических уравнений пятой степени. В курсе по теории графов говорилось о сетях, т. е. о точках, соединенных линиями. Я не занимался динамическими системами, поскольку защищал докторскую по алгебре, но с годами познакомился с основными понятиями по этой теме — от статических состояний до хаоса. Итак, теория Галуа, теория графов, динамические системы: три отдельные области. По крайней мере я считал их таковыми до 2011 г., когда меня вдруг заинтересовал вопрос распознавания хаотической динамики в сети динамических систем, и тогда необходимым для исследования оказалось все то, что я узнал 45 лет назад на курсе по теории Галуа.
Итак, математика не похожа на политическую карту мира, где страны разделяются четкими границами и аккуратно окрашиваются каждая в свой цвет: розовый, зеленый или голубой. Она скорее напоминает естественный ландшафт, где никогда нельзя сказать наверняка, где заканчивается долина и начинаются предгорья, где лес переходит в лесостепь, кустарниковые заросли и настоящие степи, где озера вплавляют в окружающий ландшафт свои водяные зеркала, а реки связывают заснеженные горные склоны с далеким океаном. Но этот вечно меняющийся математический ландшафт состоит не из скал, воды и растений, а из идей, и соединяет все вместе не география, а логика. К тому же это динамичный ландшафт: он изменяется с появлением новых идей, с каждым новым открытием, с изобретением каждого нового метода. Важные концепции с множеством приложений подобны горным пикам, универсальные методики — широким рекам, несущим путешественников через плодородные равнины. Чем четче вырисовывается ландшафт, тем проще разглядеть на нем непокоренные еще вершины или неисследованные местности, которые часто воздвигают перед путником неожиданные и нежеланные препятствия. Со временем некоторые из этих пиков и препятствий становятся знаковыми. Это и есть великие проблемы математики.
Что делает математическую задачу великой? Интеллектуальная глубина в сочетании с простотой и элегантностью. Плюс к тому она должна быть сложной. Кто угодно может взобраться на холмик, но Эверест — совсем другое дело. Сформулировать великую задачу обычно нетрудно, хотя условия могут быть как элементарными, так и очень специальными и понятными только профессионалу. Если Великая теорема Ферма и проблема четырех красок без особых пояснений понятны всякому, кто знаком со школьной математикой, то, к примеру, гипотезу Ходжа или теорию Янга–Миллса даже сформулировать невозможно без привлечения глубоких концепций с переднего края науки (в конце концов, последняя имеет непосредственное отношение к квантовой теории поля). Тем не менее для специалиста в соответствующей области формулировки этих проблем звучат просто и естественно. Для их изложения не нужны многие страницы непонятного текста. И, наконец, существуют задачи, для детального понимания которых требуется уровень хотя бы университетского курса математики. Но более общий уровень понимания существа проблемы — откуда она взялась, почему важна, что можно было бы сделать, имея ее решение, — как правило, доступен любому интересующемуся, и именно это я попытаюсь вам объяснить. Правда, гипотеза Ходжа — крепкий орешек в этом отношении, поскольку она очень технична и очень абстрактна. Однако это одна из семи математических задач тысячелетия, за решение которых Институт Клэя предлагает приз в 1 млн долларов. […]
Проблема редко заключается в том, чтобы найти ответ. Математики очень четко представляют себе, какими должны быть ответы буквально всех великих задач, — или представляли, если на сегодняшний день решение уже известно. В самом деле, ожидаемый ответ часто заключен уже в формулировку вопроса. Гипотеза представляет собой правдоподобную догадку, предположение, основанное на совокупности данных. Как правило, хорошо изученные гипотезы со временем находят подтверждение, хотя так происходит не всегда. […]
Доказательство — вот то, чего требуют великие задачи и что делает их такими сложными. Любой человек, обладающий определенными знаниями, способен провести несколько вычислений, заметить явную закономерность и кратко сформулировать ее суть. Но математики требуют большего: они настаивают на полном, логически безупречном доказательстве. Или, если гипотеза не подтверждается, на столь же полном опровержении. Вообще же невозможно оценить всю чарующую привлекательность великой задачи, не понимая до конца жизненно важную роль доказательства в любом математическом предприятии. Обоснованное предположение может сделать кто угодно, трудно лишь доказать его истинность. Или ложность.
Концепция математического доказательства менялась с течением времени, причем требования к логике, как правило, становились все строже. Многочисленные высокоинтеллектуальные философские дискуссии о природе доказательства поднимали важные вопросы. Предлагались и внедрялись точные определения понятия «доказательство». Сегодня мы учим студентов, что доказательство начинается с набора некоторых явных допущений, известных как аксиомы. Аксиомы — это, так сказать, правила игры. В принципе возможны и другие аксиомы, но они относятся к другим играм. Первым такой подход предложил древнегреческий математик Евклид, но и сегодня он вполне применим. Доказательство на основе принятых аксиом представляет собой серию шагов, каждый из которых является логическим следствием либо аксиом, либо уже доказанных утверждений, либо того и другого. По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами — достоверные умозаключения. Доказательство — путь через лабиринт, который начинается с аксиом. Утверждение, на котором он заканчивается, и есть то, что требовалось доказать.
Однако такое правильное и «причесанное» представление о доказательстве — еще не вся история и даже не самая главная ее часть. Это все равно что сказать: симфония — последовательность музыкальных нот, которая подчиняется законам гармонии. Определение верно, но где же творчество? Такое определение ничего не говорит нам не только о том, как искать доказательство, но и о том, как проверить его, когда оно предложено кем-то другим. Это определение ничего не говорит нам о том, какие места в лабиринте важнее других. Не говорит и о том, какие проходы в нем элегантны, а какие безобразны, какие значительны, а какие бесполезны. Это всего лишь формальное, механическое описание процесса, у которого немало и других аспектов, в частности человеческое измерение. Доказательства ищут люди, и математические исследования — отнюдь не воплощение пошаговой логики.
Формальный подход к определению доказательства может породить доказательства почти нечитаемые, поскольку основные усилия придется бросить на копание в мелочах и «расставление точек над логическими i», в то время как решающий вывод будет буквально бросаться в глаза. Поэтому практикующие математики спрямляют путь и оставляют за бортом все рутинные или очевидные шаги. На пропуски обычно указывают фразы вроде «несложно показать, что…» или «из стандартных расчетов следует, что…» Зато ни один математик не пройдет — по крайней мере сознательно — мимо логической трудности и не попытается сделать вид, что ее нет. Более того, компетентный математик постарается обратить особое внимание на слабые с точки зрения логики звенья цепочки рассуждений и потратит большую часть времени и усилий на то, чтобы укрепить их и сделать достаточно надежными. Дело в том, что на практике доказательство — это математическая история с собственным сюжетом. У нее есть завязка, кульминация и развязка. В ней часто можно обнаружить боковые сюжетные ходы, которые вырастают из основного ствола, но ведут каждый к своему результату. Британский математик Кристофер Зиман однажды заметил, что любая теорема — это своего рода интеллектуальная точка покоя, где можно сделать остановку, перевести дыхание и ощутить некоторую определенность. Побочная сюжетная линия помогает свести концы с концами в основном сюжете. Доказательство напоминает литературный сюжет и в других отношениях: в них часто имеются один или несколько главных героев — конечно, это не люди, а идеи, — сложные взаимоотношения которых ведут к развязке и финалу.
Как явствует из формального определения, доказательство начинается с неких четких предположений, движется шаг за шагом от одного логического вывода к другому и заканчивается выводом о том, что вы, собственно, хотели доказать. Но доказательство — не просто список последовательных умозаключений, и логика в нем — не единственный критерий. Доказательство — это рассказ, который выслушивают и разбирают по косточкам люди, посвятившие большую часть жизни искусству прочтения таких историй и поиска в них ошибок и противоречий. Основная цель этих людей — доказать, что автор доказательства не прав. Эти люди обладают поразительной способностью замечать слабые места и без устали долбить в них, пока вся конструкция не рухнет, подняв облако пыли. Вообще, если какой-нибудь математик заявляет, что ему удалось решить крупную проблему (одну из великих, например, или что-нибудь попроще, но тоже достойное), остальные математики не спешат кричать «Ура!» и открывать шампанское. Профессиональный инстинкт велит им прежде всего постараться опровергнуть предложенное доказательство.
Так или иначе, доказательство — это единственный надежный инструмент, при помощи которого математики могут убедиться в собственной правоте. Предвидя реакцию математического сообщества, исследователи тратят огромные усилия на проверку собственных выводов и поиск противоречий в них. Так проще. Если же история успешно выдерживает критический анализ коллег, сообщество вскоре приходит к выводу, что она верна, и в этот момент создатель доказательства получает заслуженные похвалы и награды. Во всяком случае, обычно бывает именно так, хотя непосредственным участникам событий это может видеться иначе. Когда ты вовлечен во что-то, то воспринимаешь все не так, как сторонний наблюдатель.
Как математики решают задачи? Этот вопрос почти не изучался. Современные образовательные исследования на базе когнитивистики в основном ограничиваются изучением образования от начальной до высшей школы. Есть исследования, посвященные преподаванию математики в вузах, но их не так уж много. Кроме того, есть большая разница между освоением и преподаванием математики и новыми исследованиями в этой области. Многие из нас умеют играть на каком-нибудь музыкальном инструменте, но мало кто способен сочинить симфонический концерт или хотя бы написать популярную песенку.
Когда речь заходит о творчестве на высочайшем уровне, почти все, что мы знаем — или думаем, что знаем, — мы получаем путем самоанализа. Мы просим математиков объяснить ход их мыслей и пытаемся выделить в этих описаниях общие принципы. Одной из первых серьезных попыток понять, как думают математики, можно считать книгу Жака Адамара «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», вышедшую в 1945 г. Адамар расспросил ведущих математиков и физиков своего времени и попросил описать, как они думают в процессе работы над сложной задачей. И тут выявилась важная и даже необходимая роль того, что за неимением лучшего термина следует назвать интуицией. Их мысли направляло нечто подсознательное. Самые плодотворные их идеи и озарения не приходили постепенно, в результате логической пошаговой проработки, а возникали неожиданно, и весь процесс развивался скачкообразно.
Одно из самых подробных описаний этого на первый взгляд нелогичного подхода к логическим вопросам дал французский математик Анри Пуанкаре — один из ведущих ученых конца XIX — начала XX в. Пуанкаре отметился едва ли не во всех областях математической науки, внес радикальные изменения во многие из них и основал несколько новых ее разделов. […]
Его описание творческого процесса различает три ключевых этапа: подготовка, вынашивание и озарение. Подготовка представляет собой сознательные логические усилия, направленные на то, чтобы увидеть проблему, точно сформулировать ее и попробовать решить традиционными методами. Этот этап, когда подсознание получает задание и материал для работы, Пуанкаре считал очень важным. Вынашивание происходит, когда вы прекращаете думать о задаче, отвлекаетесь от нее и занимаетесь чем-то другим. А подсознание тем временем начинает перебирать и комбинировать идеи, часто довольно дикие, и продолжается это до тех пор, пока вдали не забрезжит свет. Если повезет, результатом станет озарение: подсознание даст вам сигнал, и в вашем мозгу как будто вспыхнет лампочка — возникнет готовый ответ.
Такое творчество подобно хождению по натянутому канату. С одной стороны, вы не можете решить сложную проблему, пока не познакомитесь как следует с областью, к которой она относится, а также с множеством других тем, которые могут пригодиться, а могут и не пригодиться в работе, просто на всякий случай. С другой стороны, если, изучая все нужные области математики, вы обратитесь к стандартному, уже много раз безрезультатно опробованному пути, то, возможно, уже не сумеете выбраться из наезженной колеи и ничего нового не откроете. Фокус в том, чтобы много знать и сознательно собирать свои знания воедино, работать над этим неделю за неделей… а затем отложить проблему в сторону. Тогда за дело возьмется интуитивная часть вашего сознания: она отсмотрит все идеи, повертит их так и эдак, оценит, где «холодно», а где «горячо», и сообщит вам, если что-нибудь найдет. Произойти это может в любой момент: Пуанкаре однажды понял, как нужно решать задачу, мучившую его несколько месяцев, выходя из автобуса. Шриниваса Рамануджан, индийский математик-самоучка, создававший замечательные формулы, часто видел новые идеи во сне. А Архимед, согласно легенде, нашел способ определить содержание золота в сплаве, принимая ванну.
Пуанкаре особо указал, что без первоначального периода подготовки успеха не достичь. Подсознанию, настаивал он, необходимо дать как можно больше пищи для размышления, в противном случае удачные идеи, которые в конечном итоге могут привести к решению, просто не возникнут. Вдохновения без трудового пота не бывает. Кроме того, Пуанкаре наверняка знал — ведь об этом знает любой математик-исследователь, — что одного такого трехэтапного процесса редко бывает достаточно. Решение серьезной задачи, как правило, требует нескольких озарений. Этап вынашивания одной идеи может быть прерван вспомогательным процессом подготовки, вынашивания и озарения какой-то другой задачи, решение которой оказалось необходимым для работы над первой, основной идеей. Решение любой стоящей задачи, великой или не слишком, обычно включает в себя множество таких последовательностей, заключенных одна в другой, как замысловатые фракталы Бенуа Мандельброта. Вы решаете задачу, разбивая ее на подзадачи. Вы убеждаете себя, что если удастся решить эти подзадачи, то затем из полученных результатов можно будет собрать решение задачи в целом. Иногда они решаются, иногда приходится возвращаться к началу пути. Иногда подзадача сама рассыпается на несколько кусочков. Даже уследить за происходящим и удержать в голове общую картину порой очень и очень непросто.
Я назвал работу подсознания «интуицией». «Интуиция» — одно из удобных, но вводящих в заблуждение слов, таких как «инстинкт», которые широко используются, хотя и не имеют четкого значения. Подобными словами называют нечто непонятное, присутствие чего тем не менее отрицать невозможно. Математическая интуиция — это способность разума чувствовать форму и структуру и распознавать закономерности, которые мы не в состоянии уловить на сознательном уровне. Интуиция не обладает кристальной чистотой осознанной логики, зато способна привлечь наше внимание к вещам, которые мы никогда не стали бы рассматривать сознательно. Нейробиологи еще только начинают понимать, как человеческий мозг справляется с гораздо более простыми задачами. Понятно, однако, что интуиция, как бы она ни работала, существует благодаря структуре мозга и его взаимодействию с внешним миром.
Зачастую главное, чем помогает в работе интуиция, — она подсказывает, где у задачи слабые места, где к ней можно подступиться с максимальными шансами на успех. Математическое доказательство подобно сражению или, если вы предпочитаете менее воинственные сравнения, шахматной партии. Как только потенциально слабое место выявлено, исследователь бросает в бой (т. е. на его изучение) все свои возможности исследователя, весь математический аппарат, которым владеет. Как Архимед нуждался в точке опоры, чтобы перевернуть Землю, так и математик-исследователь нуждается в рычагах воздействия на задачу. Одна-единственная ключевая идея может раскрыть ее, сделать доступной для стандартных методов. Ну, а после этого довести решение задачи до конца — дело техники.
По мере того как росла сумма математических знаний человечества, все большую роль в мотивации новых исследований стал играть еще один фактор: внутренние запросы самой математики. Если, к примеру, вы умеете решать алгебраические уравнения первой, второй, третьей и четвертой степеней, вам не нужно обладать очень уж богатым воображением, чтобы задаться вопросом об уравнениях пятой степени. (По существу, степень уравнения есть мера его сложности, но чтобы задать очевидный вопрос, не обязательно даже знать, что это такое.) Если решение не дается — как, собственно, и было, — то этот факт сам по себе заставляет математиков еще более усердно искать его, и при этом неважно, будет ли вожделенный результат иметь какую-либо практическую пользу.
Я не утверждаю, что практическое приложение не имеет значения. Но если какая-то конкретная математическая составляющая раз за разом возникает в вопросах, скажем, физики волн — океанских волн, вибраций, звука, света, — то понятно, что исследовать ее закономерности было бы полезно. Не обязательно знать заранее, какое приложение найдет новая идея: тема волн фигурирует во многих важных областях, так что серьезные результаты непременно где-нибудь пригодятся. В данном случае этим «где-нибудь» стали радио, телевидение и радары. Если кто-то придумает новый подход к тепловым потокам и без всякого математического обоснования предложит новый блестящий метод, то, безусловно, будет очень полезно разобраться во всем этом как в чисто математической задаче. И даже если вам нет никакого дела до тепловых потоков, результат обязательно пригодится где-то еще. Фурье-анализ, разработанный в ходе исследования именно этой области, оказался, возможно, самой полезной математической идеей всех времен. Это, по существу, основа современных телекоммуникаций: он обеспечивает работу цифровых камер, помогает реставрировать старые кинофильмы и звукозаписи, а его современное расширение использует ФБР для хранения отпечатков пальцев.
За несколько тысячелетий подобная взаимосвязь между практическим применением математики и ее внутренней структурой привела к тому, что они тесно переплелись и стали почти неотделимы друг от друга. Тем не менее математика делится на две области: чистую и прикладную. Это деление помогает оценить место математических открытий в структуре человеческого знания, однако оно довольно условно. В лучшем случае так можно различить два конца одного непрерывного спектра математических стилей и методов. В худшем — такая классификация вводит нас в заблуждение относительно того, что именно приносит пользу и что служит источником идей. Как и в других областях науки, силу математике придает сочетание абстрактных рассуждений и вдохновения, почерпнутого из внешнего мира. Говоря попросту, они питают друг друга. Разделить математику на две составляющие не просто невозможно — это бессмысленно.
Большинство по-настоящему важных математических задач — великих задач, которым посвящена эта книга, — возникли внутри математического поля в процессе своеобразной интеллектуальной медитации. Причина проста: это сугубо математические задачи. Математика часто представляется набором изолированных областей, в каждой из которых господствуют собственные методы: это алгебра, геометрия, тригонометрия, математический анализ, комбинаторика, теория вероятностей. Ее обычно так и преподают, и не без причины: четкое разделение тем помогает учащимся разложить по полочкам учебный материал в своей голове. И действительно, такое деление — вполне разумный способ понять в первом приближении структуру математической науки, особенно классической, давно устоявшейся. Однако на переднем крае исследований это четкое деление часто рушится. И дело не только в том, что границы между основными областями математики размыты, — в реальности их просто нет.
Каждый математик-исследователь знает, что в любой момент внезапно и непредсказуемо может оказаться, что проблема, над которой он работает, требует свежих идей из какой-то совершенно посторонней, на первый взгляд, области. Более того, новые исследования часто захватывают сразу несколько областей. К примеру, мои исследования сосредоточены по большей части на формировании структур в динамических системах — системах, которые изменяются во времени по определенным правилам. Типичный пример — движение животных. Лошадь при движении рысью раз за разом повторяет одну и ту же последовательность движений ног, и в этих движениях есть четкая закономерность: копыта ударяют по земле попеременно, диагональными парами. Иными словами, лошадь ставит сначала левую переднюю и правую заднюю ноги, затем правую переднюю и левую заднюю. О чем же эта задача? О паттернах, и тогда решать ее надо методами теории групп — алгебры симметрий? Или это задача из динамики — и тогда к решению нужно привлекать ньютоновские дифференциальные уравнения?
Ответ таков: эта задача по определению относится к обеим названным областям. Причем это не пересечение областей, где мог бы находиться материал, общий для обеих, — они почти не пересекаются. Нет, это новая «область», охватывающая два традиционных раздела математики. Она как мост через реку, разделяющую две страны, связывает их, но не принадлежит ни одной. Но этот мост — не узкая полоса дороги: по размерам его можно сравнить с каждой из соединяемых стран. И, что еще важнее, используемые здесь методы не ограничиваются теми, что используются на прилежащих территориях. Фактически в моих исследованиях пригодились знания во всех областях математики, которые я когда-либо изучал. Так, курс по теории Галуа, который я слушал в Кембридже студентом, был посвящен решению (или, точнее, анализу причин, по которым мы не можем их решить) алгебраических уравнений пятой степени. В курсе по теории графов говорилось о сетях, т. е. о точках, соединенных линиями. Я не занимался динамическими системами, поскольку защищал докторскую по алгебре, но с годами познакомился с основными понятиями по этой теме — от статических состояний до хаоса. Итак, теория Галуа, теория графов, динамические системы: три отдельные области. По крайней мере я считал их таковыми до 2011 г., когда меня вдруг заинтересовал вопрос распознавания хаотической динамики в сети динамических систем, и тогда необходимым для исследования оказалось все то, что я узнал 45 лет назад на курсе по теории Галуа.
Итак, математика не похожа на политическую карту мира, где страны разделяются четкими границами и аккуратно окрашиваются каждая в свой цвет: розовый, зеленый или голубой. Она скорее напоминает естественный ландшафт, где никогда нельзя сказать наверняка, где заканчивается долина и начинаются предгорья, где лес переходит в лесостепь, кустарниковые заросли и настоящие степи, где озера вплавляют в окружающий ландшафт свои водяные зеркала, а реки связывают заснеженные горные склоны с далеким океаном. Но этот вечно меняющийся математический ландшафт состоит не из скал, воды и растений, а из идей, и соединяет все вместе не география, а логика. К тому же это динамичный ландшафт: он изменяется с появлением новых идей, с каждым новым открытием, с изобретением каждого нового метода. Важные концепции с множеством приложений подобны горным пикам, универсальные методики — широким рекам, несущим путешественников через плодородные равнины. Чем четче вырисовывается ландшафт, тем проще разглядеть на нем непокоренные еще вершины или неисследованные местности, которые часто воздвигают перед путником неожиданные и нежеланные препятствия. Со временем некоторые из этих пиков и препятствий становятся знаковыми. Это и есть великие проблемы математики.
_________________________________
Что делает математическую задачу великой? Интеллектуальная глубина в сочетании с простотой и элегантностью. Плюс к тому она должна быть сложной. Кто угодно может взобраться на холмик, но Эверест — совсем другое дело. Сформулировать великую задачу обычно нетрудно, хотя условия могут быть как элементарными, так и очень специальными и понятными только профессионалу. Если Великая теорема Ферма и проблема четырех красок без особых пояснений понятны всякому, кто знаком со школьной математикой, то, к примеру, гипотезу Ходжа или теорию Янга–Миллса даже сформулировать невозможно без привлечения глубоких концепций с переднего края науки (в конце концов, последняя имеет непосредственное отношение к квантовой теории поля). Тем не менее для специалиста в соответствующей области формулировки этих проблем звучат просто и естественно. Для их изложения не нужны многие страницы непонятного текста. И, наконец, существуют задачи, для детального понимания которых требуется уровень хотя бы университетского курса математики. Но более общий уровень понимания существа проблемы — откуда она взялась, почему важна, что можно было бы сделать, имея ее решение, — как правило, доступен любому интересующемуся, и именно это я попытаюсь вам объяснить. Правда, гипотеза Ходжа — крепкий орешек в этом отношении, поскольку она очень технична и очень абстрактна. Однако это одна из семи математических задач тысячелетия, за решение которых Институт Клэя предлагает приз в 1 млн долларов. […]
 |
Проблема четырех красок —
утверждение о том, что всякую расположенную на сфере карту можно
раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий
участок границы, были раскрашены в разные цвета.
|
Проблема редко заключается в том, чтобы найти ответ. Математики очень четко представляют себе, какими должны быть ответы буквально всех великих задач, — или представляли, если на сегодняшний день решение уже известно. В самом деле, ожидаемый ответ часто заключен уже в формулировку вопроса. Гипотеза представляет собой правдоподобную догадку, предположение, основанное на совокупности данных. Как правило, хорошо изученные гипотезы со временем находят подтверждение, хотя так происходит не всегда. […]
Доказательство — вот то, чего требуют великие задачи и что делает их такими сложными. Любой человек, обладающий определенными знаниями, способен провести несколько вычислений, заметить явную закономерность и кратко сформулировать ее суть. Но математики требуют большего: они настаивают на полном, логически безупречном доказательстве. Или, если гипотеза не подтверждается, на столь же полном опровержении. Вообще же невозможно оценить всю чарующую привлекательность великой задачи, не понимая до конца жизненно важную роль доказательства в любом математическом предприятии. Обоснованное предположение может сделать кто угодно, трудно лишь доказать его истинность. Или ложность.
Концепция математического доказательства менялась с течением времени, причем требования к логике, как правило, становились все строже. Многочисленные высокоинтеллектуальные философские дискуссии о природе доказательства поднимали важные вопросы. Предлагались и внедрялись точные определения понятия «доказательство». Сегодня мы учим студентов, что доказательство начинается с набора некоторых явных допущений, известных как аксиомы. Аксиомы — это, так сказать, правила игры. В принципе возможны и другие аксиомы, но они относятся к другим играм. Первым такой подход предложил древнегреческий математик Евклид, но и сегодня он вполне применим. Доказательство на основе принятых аксиом представляет собой серию шагов, каждый из которых является логическим следствием либо аксиом, либо уже доказанных утверждений, либо того и другого. По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами — достоверные умозаключения. Доказательство — путь через лабиринт, который начинается с аксиом. Утверждение, на котором он заканчивается, и есть то, что требовалось доказать.
Однако такое правильное и «причесанное» представление о доказательстве — еще не вся история и даже не самая главная ее часть. Это все равно что сказать: симфония — последовательность музыкальных нот, которая подчиняется законам гармонии. Определение верно, но где же творчество? Такое определение ничего не говорит нам не только о том, как искать доказательство, но и о том, как проверить его, когда оно предложено кем-то другим. Это определение ничего не говорит нам о том, какие места в лабиринте важнее других. Не говорит и о том, какие проходы в нем элегантны, а какие безобразны, какие значительны, а какие бесполезны. Это всего лишь формальное, механическое описание процесса, у которого немало и других аспектов, в частности человеческое измерение. Доказательства ищут люди, и математические исследования — отнюдь не воплощение пошаговой логики.
Формальный подход к определению доказательства может породить доказательства почти нечитаемые, поскольку основные усилия придется бросить на копание в мелочах и «расставление точек над логическими i», в то время как решающий вывод будет буквально бросаться в глаза. Поэтому практикующие математики спрямляют путь и оставляют за бортом все рутинные или очевидные шаги. На пропуски обычно указывают фразы вроде «несложно показать, что…» или «из стандартных расчетов следует, что…» Зато ни один математик не пройдет — по крайней мере сознательно — мимо логической трудности и не попытается сделать вид, что ее нет. Более того, компетентный математик постарается обратить особое внимание на слабые с точки зрения логики звенья цепочки рассуждений и потратит большую часть времени и усилий на то, чтобы укрепить их и сделать достаточно надежными. Дело в том, что на практике доказательство — это математическая история с собственным сюжетом. У нее есть завязка, кульминация и развязка. В ней часто можно обнаружить боковые сюжетные ходы, которые вырастают из основного ствола, но ведут каждый к своему результату. Британский математик Кристофер Зиман однажды заметил, что любая теорема — это своего рода интеллектуальная точка покоя, где можно сделать остановку, перевести дыхание и ощутить некоторую определенность. Побочная сюжетная линия помогает свести концы с концами в основном сюжете. Доказательство напоминает литературный сюжет и в других отношениях: в них часто имеются один или несколько главных героев — конечно, это не люди, а идеи, — сложные взаимоотношения которых ведут к развязке и финалу.
Как явствует из формального определения, доказательство начинается с неких четких предположений, движется шаг за шагом от одного логического вывода к другому и заканчивается выводом о том, что вы, собственно, хотели доказать. Но доказательство — не просто список последовательных умозаключений, и логика в нем — не единственный критерий. Доказательство — это рассказ, который выслушивают и разбирают по косточкам люди, посвятившие большую часть жизни искусству прочтения таких историй и поиска в них ошибок и противоречий. Основная цель этих людей — доказать, что автор доказательства не прав. Эти люди обладают поразительной способностью замечать слабые места и без устали долбить в них, пока вся конструкция не рухнет, подняв облако пыли. Вообще, если какой-нибудь математик заявляет, что ему удалось решить крупную проблему (одну из великих, например, или что-нибудь попроще, но тоже достойное), остальные математики не спешат кричать «Ура!» и открывать шампанское. Профессиональный инстинкт велит им прежде всего постараться опровергнуть предложенное доказательство.
Так или иначе, доказательство — это единственный надежный инструмент, при помощи которого математики могут убедиться в собственной правоте. Предвидя реакцию математического сообщества, исследователи тратят огромные усилия на проверку собственных выводов и поиск противоречий в них. Так проще. Если же история успешно выдерживает критический анализ коллег, сообщество вскоре приходит к выводу, что она верна, и в этот момент создатель доказательства получает заслуженные похвалы и награды. Во всяком случае, обычно бывает именно так, хотя непосредственным участникам событий это может видеться иначе. Когда ты вовлечен во что-то, то воспринимаешь все не так, как сторонний наблюдатель.
Как математики решают задачи? Этот вопрос почти не изучался. Современные образовательные исследования на базе когнитивистики в основном ограничиваются изучением образования от начальной до высшей школы. Есть исследования, посвященные преподаванию математики в вузах, но их не так уж много. Кроме того, есть большая разница между освоением и преподаванием математики и новыми исследованиями в этой области. Многие из нас умеют играть на каком-нибудь музыкальном инструменте, но мало кто способен сочинить симфонический концерт или хотя бы написать популярную песенку.
Когда речь заходит о творчестве на высочайшем уровне, почти все, что мы знаем — или думаем, что знаем, — мы получаем путем самоанализа. Мы просим математиков объяснить ход их мыслей и пытаемся выделить в этих описаниях общие принципы. Одной из первых серьезных попыток понять, как думают математики, можно считать книгу Жака Адамара «Исследование психологии процесса изобретения в области математики», вышедшую в 1945 г. Адамар расспросил ведущих математиков и физиков своего времени и попросил описать, как они думают в процессе работы над сложной задачей. И тут выявилась важная и даже необходимая роль того, что за неимением лучшего термина следует назвать интуицией. Их мысли направляло нечто подсознательное. Самые плодотворные их идеи и озарения не приходили постепенно, в результате логической пошаговой проработки, а возникали неожиданно, и весь процесс развивался скачкообразно.
 |
Анри Пуанкаре
|
Одно из самых подробных описаний этого на первый взгляд нелогичного подхода к логическим вопросам дал французский математик Анри Пуанкаре — один из ведущих ученых конца XIX — начала XX в. Пуанкаре отметился едва ли не во всех областях математической науки, внес радикальные изменения во многие из них и основал несколько новых ее разделов. […]
Его описание творческого процесса различает три ключевых этапа: подготовка, вынашивание и озарение. Подготовка представляет собой сознательные логические усилия, направленные на то, чтобы увидеть проблему, точно сформулировать ее и попробовать решить традиционными методами. Этот этап, когда подсознание получает задание и материал для работы, Пуанкаре считал очень важным. Вынашивание происходит, когда вы прекращаете думать о задаче, отвлекаетесь от нее и занимаетесь чем-то другим. А подсознание тем временем начинает перебирать и комбинировать идеи, часто довольно дикие, и продолжается это до тех пор, пока вдали не забрезжит свет. Если повезет, результатом станет озарение: подсознание даст вам сигнал, и в вашем мозгу как будто вспыхнет лампочка — возникнет готовый ответ.
Такое творчество подобно хождению по натянутому канату. С одной стороны, вы не можете решить сложную проблему, пока не познакомитесь как следует с областью, к которой она относится, а также с множеством других тем, которые могут пригодиться, а могут и не пригодиться в работе, просто на всякий случай. С другой стороны, если, изучая все нужные области математики, вы обратитесь к стандартному, уже много раз безрезультатно опробованному пути, то, возможно, уже не сумеете выбраться из наезженной колеи и ничего нового не откроете. Фокус в том, чтобы много знать и сознательно собирать свои знания воедино, работать над этим неделю за неделей… а затем отложить проблему в сторону. Тогда за дело возьмется интуитивная часть вашего сознания: она отсмотрит все идеи, повертит их так и эдак, оценит, где «холодно», а где «горячо», и сообщит вам, если что-нибудь найдет. Произойти это может в любой момент: Пуанкаре однажды понял, как нужно решать задачу, мучившую его несколько месяцев, выходя из автобуса. Шриниваса Рамануджан, индийский математик-самоучка, создававший замечательные формулы, часто видел новые идеи во сне. А Архимед, согласно легенде, нашел способ определить содержание золота в сплаве, принимая ванну.
Пуанкаре особо указал, что без первоначального периода подготовки успеха не достичь. Подсознанию, настаивал он, необходимо дать как можно больше пищи для размышления, в противном случае удачные идеи, которые в конечном итоге могут привести к решению, просто не возникнут. Вдохновения без трудового пота не бывает. Кроме того, Пуанкаре наверняка знал — ведь об этом знает любой математик-исследователь, — что одного такого трехэтапного процесса редко бывает достаточно. Решение серьезной задачи, как правило, требует нескольких озарений. Этап вынашивания одной идеи может быть прерван вспомогательным процессом подготовки, вынашивания и озарения какой-то другой задачи, решение которой оказалось необходимым для работы над первой, основной идеей. Решение любой стоящей задачи, великой или не слишком, обычно включает в себя множество таких последовательностей, заключенных одна в другой, как замысловатые фракталы Бенуа Мандельброта. Вы решаете задачу, разбивая ее на подзадачи. Вы убеждаете себя, что если удастся решить эти подзадачи, то затем из полученных результатов можно будет собрать решение задачи в целом. Иногда они решаются, иногда приходится возвращаться к началу пути. Иногда подзадача сама рассыпается на несколько кусочков. Даже уследить за происходящим и удержать в голове общую картину порой очень и очень непросто.
Я назвал работу подсознания «интуицией». «Интуиция» — одно из удобных, но вводящих в заблуждение слов, таких как «инстинкт», которые широко используются, хотя и не имеют четкого значения. Подобными словами называют нечто непонятное, присутствие чего тем не менее отрицать невозможно. Математическая интуиция — это способность разума чувствовать форму и структуру и распознавать закономерности, которые мы не в состоянии уловить на сознательном уровне. Интуиция не обладает кристальной чистотой осознанной логики, зато способна привлечь наше внимание к вещам, которые мы никогда не стали бы рассматривать сознательно. Нейробиологи еще только начинают понимать, как человеческий мозг справляется с гораздо более простыми задачами. Понятно, однако, что интуиция, как бы она ни работала, существует благодаря структуре мозга и его взаимодействию с внешним миром.
Зачастую главное, чем помогает в работе интуиция, — она подсказывает, где у задачи слабые места, где к ней можно подступиться с максимальными шансами на успех. Математическое доказательство подобно сражению или, если вы предпочитаете менее воинственные сравнения, шахматной партии. Как только потенциально слабое место выявлено, исследователь бросает в бой (т. е. на его изучение) все свои возможности исследователя, весь математический аппарат, которым владеет. Как Архимед нуждался в точке опоры, чтобы перевернуть Землю, так и математик-исследователь нуждается в рычагах воздействия на задачу. Одна-единственная ключевая идея может раскрыть ее, сделать доступной для стандартных методов. Ну, а после этого довести решение задачи до конца — дело техники.